2023　筑波大学　推薦理工学群工学システム,応用理工学類

【１】　

問１　関数$f(x)=e^{-\sqrt{3}x}\sin x$について以下の問いに答えよ．

(1)　次式で表される関数$F(x)$が，$f(x)$の不定積分であることを示せ．

$F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-\sqrt{3}x}\sin (x-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}})+C$

ただし，$C$は定数である．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 2\pi$における$f(x)$の増減表を書き，最大値と最小値，およびこれらの値をとるときの$x$の値を求めよ．

【１】　

問２　関数$f(x)$の導関数$g(x)$は定数$k$$\text{（}\ne 0\text{）}$を用いて次式で与えられる．

$g(x)={\displaystyle \frac{e^{kx}-e^{-kx}}{2}}$

以下の問いに答えよ．

(1)　$f(0)=0$であるとき，$f(x)$を求めよ．

(2)　次の定積分の値を求めよ．ただし，$p$は定数である．

${\displaystyle {\int }_0^p}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\{g(x)\}}^2}}}{g}^{\prime }(x)\mathit{dx}$

【２】

問１　空間に点$\mathrm{A}$$(4,0,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(0,-2\sqrt{2},0)\text{，}$点$\mathrm{C}$$(0,0,-2)$がある．点$\mathrm{P}$$(p,q,r)$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}$を満たして動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$q\text{，}$$r$を$p$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の軌跡は直線となる．この直線の方程式を求めよ．

(3)　平面$\mathrm{ABC}$の方程式を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が平面$\mathrm{ABC}$上にあるとき，その座標を求めよ．

(5)　平面$\mathrm{ABC}$と原点との距離を求めよ．

(6)　平面$\mathrm{ABC}$に接し，原点を通る半径最小の球面の方程式を求めよ．

【２】

問２　すべての項が自然数である数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は，

${(3+\sqrt{2})}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　$\sqrt{2}$は無理数であることに注意し，$a_{n+1}$を$a_n$と$b_n$を用いて，$b_{n+1}$を$a_n$と$b_n$を用いて表せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}+p{b}_{n+1}=q(a_n+p{b}_n)$を満たす実数の定数$p\text{，}$$q$を$2$組求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めよ．