2023　筑波大学　推薦理工学群数学類

【１】　実数$a$に対して$2$次関数$f(x)$と$g(x)$を

$f(x)=x^2-2(a+2)x+4a+8$

$g(x)=-x^2$

と定める．以下の問いに答えよ．

(1)　不等式$f(x)\geqq g(x)$がすべての実数$x$について成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　不等式$g(x)>f(x)$を満たす実数$x$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　不等式$f(x)\geqq g(y)$がすべての実数$x\text{，}$$y$について成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　不等式$f(x)\geqq g(x)$を満たす実数$x$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　座標平面において，点$(0,0)$を中心とし半径が$2$の円$A$と，点$(5,0)$を中心とし半径が$1$の円$B$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$A$と$B$のどちらにも外接する円$C$の中心の軌跡を求めよ．

(2)　$A$と$B$がともに内接する円$D$の中心の軌跡を求めよ．

(3)　$B$と(1)の円$C$の接点の$x$座標が動く範囲を求めよ．

【３】　次のように定義される数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$a_{n+1}=a_n(1-{\displaystyle \frac{a_n}{n}})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$について$0<a_n<1$であることを証明せよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n({\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_n}})$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\log n$を求めよ．