2023　筑波大学　推薦医学群医学類

【１】　以下の問に答えなさい．

問１　$\sin 3\theta =\sin \theta (-1+4{\cos }^2\theta )$を示しなさい．

問２　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{7}}\text{，}$${\displaystyle \frac{3\pi }{7}}\text{，}$${\displaystyle \frac{5\pi }{7}}$のとき，それぞれ$\sin 3\theta =\sin 4\theta$が成り立つことを示しなさい．

問３　問１と問２を用いて，整式$x^3-x^2-2x+1$は次のように因数分解できることを示しなさい．

$x^3-x^2-2x+1$$=(x-2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{7}})(x-2\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{7}})(x-2\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{7}})$

問４　次の値が有理数になることを示しなさい．

${\cos }^3{\displaystyle \frac{\pi }{7}}+{\cos }^3{\displaystyle \frac{3\pi }{7}}+{\cos }^3{\displaystyle \frac{5\pi }{7}}$

【２】　$x$は正の実数，$n$は正の整数，$e$は自然対数の底とする．以下の問に答えなさい．

問１　次の等式を示しなさい．

${\displaystyle \frac{1}{n!}}{\displaystyle {\int }_0^x}{(x-u)}^n{e}^u\mathit{du}=e^x-{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}$

問２　次の不等式を示しなさい．

$e^x\geqq {\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}$

問３　上の不等式を用いて，次の極限値を求めなさい．

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^n}{e^x}}$

【３】　中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$5$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を，$\alpha =\mathrm{\angle BOA}$が$0\mathrm{°}<\alpha <90\mathrm{°}$を満たすようにとる．点$\mathrm{A}$を通り線分$\mathrm{OB}$に垂直な直線と円周との交点を$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{D}$とする．また，点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BC}$と平行な直線と円周との交点を$\mathrm{E}$とする．さらに点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{EA}$におろした垂線の足を$\mathrm{F}$とする．

　以下の問に答えなさい．

問１　線分$\mathrm{EA}$が線分$\mathrm{OA}$と重なるとき，$\alpha =60\mathrm{°}$であることを示しなさい．

問２　$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，三角形$\mathrm{ACF}$の面積$S$を求めなさい．