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【1】 平面において,座標および座標が共に整数であるような点を格子点と呼ぶ.平面上の相異なるつの格子点を端点とする折れ線のうち,座標または座標が等しい格子点どうしを結ぶ線分のみから構成され,かつ同じ点を度通ることはないものを,格子折れ線と呼ぶ.ここで,格子折れ線の向きは考慮せず,端点および通過する点がすべて等しい格子折れ線は同じものとする.また,自然数に対し,
かつ
を満たす格子点全体の集合をとする.さらに,に属する格子点をすべて通り,かつに属さない格子点は通らない格子折れ線全体の集合をとする.たとえば,つの格子点を順に結んだ折れ線はに属する.このとき,以下の各問いに答えよ.
(1) およびに属する格子折れ線をすべて図示せよ.
(2) に属する格子折れ線のうち,両端点の座標の差が以上となるものをすべて図示せよ.
(3) のとき,に属する格子折れ線のうち,両端点の座標の差がちょうどとなるものの個数を求めよ.
(4) に属する格子折れ線の個数を,を用いて表せ.