2023　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面において，$x$座標および$y$座標が共に整数であるような点を格子点と呼ぶ．$xy$平面上の相異なる$2$つの格子点を端点とする折れ線のうち，$x$座標または$y$座標が等しい格子点どうしを結ぶ線分のみから構成され，かつ同じ点を$2$度通ることはないものを，格子折れ線と呼ぶ．ここで，格子折れ線の向きは考慮せず，端点および通過する点がすべて等しい格子折れ線は同じものとする．また，自然数$n$に対し，

$0\leqq x\leqq n$かつ$0\leqq y\leqq 1$

を満たす格子点全体の集合を$V_n$とする．さらに，$V_n$に属する格子点をすべて通り，かつ$V_n$に属さない格子点は通らない格子折れ線全体の集合を$L_n$とする．たとえば，$7$つの格子点$(0,1)\text{，}$$(0,0)\text{，}$$(1,0)\text{，}$$(1,1)\text{，}$$(4,1)\text{，}$$(4,0)\text{，}$$(2,0)$を順に結んだ折れ線は$L_4$に属する．このとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$L_1$および$L_2$に属する格子折れ線をすべて図示せよ．

(2)　$L_4$に属する格子折れ線のうち，両端点の$x$座標の差が$3$以上となるものをすべて図示せよ．

(3)　$n\geqq 3$のとき，$L_n$に属する格子折れ線のうち，両端点の$x$座標の差がちょうど$n-2$となるものの個数を求めよ．

(4)　$L_n$に属する格子折れ線の個数$l_n$を，$n$を用いて表せ．

【２】　$xyz$空間において，$3$点$(0,0,0)\text{，}$$(1,0,0)\text{，}$$(0,1,0)$を通る平面${\pi }_1$と，$3$点$(1,0,0)\text{，}$$(0,1,0)\text{，}$$(0,0,1)$を通る平面${\pi }_2$を考える．$x_0=1\text{，}$$y_0=2\text{，}$$z_0=-2$として，点${\mathrm{P}}_0$$(x_0,y_0,z_0)$から始めて，次の手順で順に点${\mathrm{P}}_1$$(x_1,y_1,z_1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(x_2,y_2,z_2)\text{，}\cdots$を決める．

•$k$が偶数のとき，${\pi }_1$上の点で点${\mathrm{P}}_k$$(x_k,y_k,z_k)$からの距離が最小となるものを${\mathrm{P}}_{k+1}$$(x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1})$とする．

•$k$が奇数のとき，${\pi }_2$上の点で点${\mathrm{P}}_k$$(x_k,y_k,z_k)$からの距離が最小となるものを${\mathrm{P}}_{k+1}$$(x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1})$とする．

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　${\pi }_2$に直交するベクトルのうち，長さが$1$で$x$成分が正のもの$\overrightarrow{n_2}$を求めよ．

(2)　$x_{k+1}\text{，}$$y_{k+1}\text{，}$$z_{k+1}$をそれぞれ$x_k\text{，}$$y_k\text{，}$$z_k$を用いて表せ．

(3)　$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_k\text{，}$$\underset{k\to \infty }{\lim }{y}_k\text{，}$$\underset{k\to \infty }{\lim }{z}_k$を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を正の実数，$p$を$a$より小さい正の実数とし，すべての実数$x$について

${\displaystyle {\int }_p^{f(x)}}{\displaystyle \frac{a}{u(a-u)}}\mathit{du}=bx\text{，}$$0<f(x)<a$

かつ$f(0)=p$を満たす関数$f(x)$を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$a\text{，}$$b\text{，}$$p$を用いて表せ．

(2)　$f(-1)=1\text{，}$$f(1)=1\text{，}$$f(3)={\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$p$を求めよ．

(3)　(2)のとき，$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$と$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

【２】　$xyz$空間において，$3$点$(0,0,0)\text{，}$$(1,0,0)\text{，}$$(0,1,0)$を通る平面${\pi }_1$と，$3$点$(1,0,0)\text{，}$$(0,1,0)\text{，}$$(0,0,1)$を通る平面${\pi }_2$を考える．$x_0=1\text{，}$$y_0=2\text{，}$$z_0=-2$として，点${\mathrm{P}}_0$$(x_0,y_0,z_0)$から始めて，次の手順で順に点${\mathrm{P}}_1$$(x_1,y_1,z_1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(x_2,y_2,z_2)\text{，}\cdots$を決める．

•$k$が偶数のとき，${\pi }_1$上の点で点${\mathrm{P}}_k$$(x_k,y_k,z_k)$からの距離が最小となるものを${\mathrm{P}}_{k+1}$$(x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1})$とする．

•$k$が奇数のとき，${\pi }_2$上の点で点${\mathrm{P}}_k$$(x_k,y_k,z_k)$からの距離が最小となるものを${\mathrm{P}}_{k+1}$$(x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1})$とする．

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　${\pi }_2$に直交するベクトルのうち，長さが$1$で$x$成分が正のもの$\overrightarrow{n_2}$を求めよ．

(2)　$k$を$0$以上の整数とするとき，$x_{k+1}\text{，}$$y_{k+1}\text{，}$$z_{k+1}$をそれぞれ$x_k\text{，}$$y_k\text{，}$$z_k$を用いて表せ．

(3)　$n$を$0$以上の整数とするとき，$x_{2n}+y_{2n}$および$x_{2n+1}+y_{2n+1}$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

(4)　$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_k\text{，}$$\underset{k\to \infty }{\lim }{y}_k\text{，}$$\underset{k\to \infty }{\lim }{z}_k$を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を正の実数，$p$を$a$より小さい正の実数とし，すべての実数$x$について

${\displaystyle {\int }_p^{f(x)}}{\displaystyle \frac{1}{u-a}}\mathit{du}=-bx\text{，}$$f(x)>a$

を満たす関数$f(x)$を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$a\text{，}$$b\text{，}$$p$を用いて表せ．

(2)　$f(0)=4\text{，}$$f(1)={\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}$$f(2)={\displaystyle \frac{7}{4}}$のとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$p$を求めよ．

(3)　(2)のとき，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．