2023　東京農工大学　前期

【１】　$i$は虚数単位とする．複素数平面上で，以下の(条件１)を満たす点$z$全体の表す図形を$Z\text{，}$(条件２)を満たす点$w$全体の表す図形を$W$とする．

(条件１)　$z$の実部を$x$とするとき，$|z-2-i|=\sqrt{5-2x}$が成り立つ．

(条件２)　$|w-1-\sqrt{2}-i|=|w-2|$

図形$W$と実軸の交点を$\mathrm{A}(\alpha )$とする．次の問いに答えよ．

〔１〕図形$Z$はどのような図形か答えよ．

〔２〕$\alpha$の値を求めよ．

〔３〕図形$Z$と図形$W$の交点を複素数で表したとき，それらの複素数すべての和を$\beta$とする．$\beta$の値を求めよ．

〔４〕〔３〕で求めた複素数$\beta$が表す点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$を，点$\mathrm{A}$を中心として${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$だけ回転した点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{▵ABC}$の重心を表す複素数を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$b_1=2\text{，}$

$a_{n+1}=6a_n+b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_{n+1}=-3a_n+2b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．次の問いに答えよ．

〔１〕$a_2\text{，}$$b_2$の値を，それぞれ求めよ．

〔２〕数列$\{a_n+b_n\}\text{，}$$\{3a_n+b_n\}$の一般項を，それぞれ求めよ．

〔３〕数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を，それぞれ求めよ．

〔４〕$\{c_n\}$を

$c_1=a_1+b_1\text{，}$$c_{n+1}=(a_{n+1}+b_{n+1})c_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=-{\displaystyle \frac{{(\log x)}^3}{x^2}}$$\text{（}x>0\text{）}$

とする．また，$xy$平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とおく．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

〔１〕関数$f(x)$の極値を求めよ．また，極値をとるときの$x$の値を求めよ．

〔２〕曲線$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式を求めよ．

〔３〕曲線$C\text{，}$$x$軸，$y$軸および直線$y=f\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}\right)$で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　関数$f(t)=t-\sin t$について，次の問いに答えよ．

〔１〕数直線上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における速度$v$が

$v=tf(t)$

であるとする．$t=0$における$\mathrm{P}$の座標が$0$であるとき，$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

〔２〕数直線上を運動する点$\mathrm{Q}$の時刻$t$における速度$v$が

$v=-6f(2t-{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi )$

であるとする．$t=0$から$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$までの間に$\mathrm{Q}$が動く道のりを求めよ．