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2023-10265-0201
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2023 東京農工大学 後期工学部
易□ 並□ 難□
【1】 p は実数とする. O を原点とする座標空間に 3 点 A (1, 0,0 ), B (0, 1,0 ), P (p,- p+3,5 ) があり,次の 3 つの条件を満たす点 C がある.
(条件1) OA→ ⋅OC→ =0
(条件2) OB→ ⋅OC→ =-1
(条件3)平面 ABC はベクトル v →=( 2,2,1 ) に垂直である.
点 P から平面 ABC に垂線 PQ を下ろす.次の問いに答えよ.
〔1〕点 C の座標を求めよ.
〔2〕ベクトル PQ → を成分で表せ.
〔3〕四面体 ABCP の体積を求めよ.
〔4〕 ▵BCP の面積の最小値を求めよ.また,最小値をとるときの p の値を求めよ.
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【2】 関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= ( 2⁢x-9 )⁢e xx
により定める.ただし, e は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.
〔1〕 limx→ -∞ f⁡(x ) を求めよ.
〔2〕 a は実数とする.方程式 f ⁡(x )=a の実数解の個数を求めよ.
〔3〕 b は実数とする.関数 g ⁡(x ) を
g⁡( x)= x2- 9⁢x+b ⁢(x +1) ⁢e- x
により定める.関数 g ⁡(x ) が x =p で極小になる実数 p が 2 個存在するように, b の範囲を定めよ.