2023　東京農工大学　後期工学部MathJax

【１】　$p$は実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(p,-p+3,5)$があり，次の$3$つの条件を満たす点$\mathrm{C}$がある．

（条件１)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0$

（条件２)　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-1$

（条件３）平面$\mathrm{ABC}$はベクトル$\overrightarrow{v}=(2,2,1)$に垂直である．

点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．次の問いに答えよ．

〔１〕点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

〔２〕ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を成分で表せ．

〔３〕四面体$\mathrm{ABCP}$の体積を求めよ．

〔４〕$\mathrm{▵BCP}$の面積の最小値を求めよ．また，最小値をとるときの$p$の値を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{(2x-9)e^x}{x}}$

により定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

〔１〕$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

〔２〕$a$は実数とする．方程式$f(x)=a$の実数解の個数を求めよ．

〔３〕$b$は実数とする．関数$g(x)$を

$g(x)=x^2-9x+b(x+1)e^{-x}$

により定める．関数$g(x)$が$x=p$で極小になる実数$p$が$2$個存在するように，$b$の範囲を定めよ．