2023　お茶の水女子大学　前期共通MathJax

【１】　$3$進法で表すと$5$桁となるような自然数全体の集合を$X$とする．また，$X$に含まれる自然数$x$に対して，$x$を$3$進法で${\mathit{abcde}}_{(3)}$と表すときの各桁の総和$a+b+c+d+e$を$S(x)$とおく．例えば，$10$進数$86$は$3$進法で${10012}_{(3)}$と表されるため，$S(86)$$=1+0+0+1+2$$=4$である．

(1)　$10$進数$199$を$3$進法で表し，$S(199)$を求めよ．

(2)　$X$の要素の個数を求めよ．

(3)　$X$から$1$つの要素を選び，さらに，各面に$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$の数字の$1$つずつが重複なく書かれた$1$個のさいころを$1$回投げる．ただし，$X$のどの要素が選ばれる確率も同じであるとする．選ばれた$X$の要素を$x\text{，}$出たさいころの数字を$r$とおいたとき，次の確率を求めよ．

(ⅰ)　$x\geqq 162$かつ等式$S(x)=r$が成り立つ確率．

(ⅱ)　$x$が$9$の倍数であって$r$が奇数であったときに，等式$S(x)=r$が成り立つ確率．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の$3$つの角$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とおく．

(1)　$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}$を示せ．

(2)　$\cos A+\cos B+\cos C=k$としたとき，$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}$を$k$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$が$A<B<C={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の直角三角形であり，$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$のとき，$3$辺の長さの比$\mathrm{BC}:\mathrm{CA}:\mathrm{AB}$を求めよ．

【３】　$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t^4}}}\mathit{dt}$ とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$y=\log (x+\sqrt{1+x^2})$を微分せよ．

(2)　$0<x\leqq 1$において，$\log (x+\sqrt{1+x^2})<ƒ(x)<x$が成り立つことを示せ．

(3)　$x>1$において，曲線$y=\log (x+\sqrt{1+x^2})$と曲線$y=f(x)$は共有点をちょうど$1$つもつことを示せ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の$3$つの角$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とおく．

(1)　$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}$を示せ．

(2)　$\cos A+\cos B+\cos C=k$としたとき，$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}={\displaystyle \frac{k-1}{4}}$となることを示せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$が$A<B<C={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の直角三角形であり，$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$のとき，$3$辺の長さの比$\mathrm{BC}:\mathrm{CA}:\mathrm{AB}$を求めよ．

【３】　$c$を実数とし，関数$f(x)={(x^2+c)}^2+c$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$x^2-x+c=0$を満たす実数$x$に対して，$f(x)-x=0$が成り立つことを示せ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$が異なる$4$つの共有点をもつとき，定数$c$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$c=-1$としたとき，$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$の共有点の$x$座標のうち，最大のものと$2$番目に大きいものをそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．$b\leqq x\leqq a$において$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$で囲まれた図形の面積を求めよ．