2023　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

$f_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(\sin (nt)-\sin t)\mathit{dt}$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f_1(x)$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の増減を調べ，このグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸と変曲点については調べなくてよい．

(2)　関数$y=f_n(x)$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における最大値を$M_n$とおく．これを求めよ．

(3)　(2)の$M_n$について，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{M}_n$を求めよ．

　$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=t$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をそれぞれ$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$として，以下の問いに答えよ．

(1)　球$S$の半径を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を，それぞれ$t\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$が球$S$と$1$点で接するときの$t$の値を求めよ．その接点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{M}$は(3)で与えた点とし，$\mathrm{R}$は辺$\mathrm{AB}$上の動点とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{MR}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{RF}}\right|$が最小となるときの点$\mathrm{R}$に対する$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(1)　正の実数$a_1\text{，}$$a_2$に対して，不等式

$\sqrt{a_1{a}_2}\leqq {\displaystyle \frac{a_1+a_2}{2}}$

を示せ．

(2)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$を正の実数とする．関数

$f(x)={\left({\displaystyle \frac{x+a_1+a_2}{3}}\right)}^3-a_1{a}_{2}x$

の$x\geqq 0$における増減を調べることで，不等式

$\sqrt[3]{a_1{a}_2{a}_3}\leqq {\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3}{3}}$

を示せ．

(3)　$n$を自然数，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{．}$$a_n$を正の実数とする．このとき，不等式

$\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\leqq {\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}}$

を示せ．