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2023-10280-0101
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2023 東京海洋大学 前期海洋生命科,海洋資源環境学部
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 関数 y =-2⁢ x3+ 3⁢x2 +12⁢ x の増減を調べ,極値を求め,そのグラフをかけ.
(2) 方程式 - 2⁢x3 +3⁢ x2+12 ⁢x=k が異なる 3 つの実数解をもつとき,定数 k の範囲を求めよ.
(3) (2)において, 3 つの解を大きい順に α >β>γ とおく. - 12<β < 32 となるとき, α の範囲を求めよ.
2023-10280-0102
【2】 放物線 y =x2 を C1 , 放物線 y =x2 -4⁢x +4⁢a を C 2 とし, C1 , C2 に共通な接線を l とする.ただし, a は実数の定数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) C1 と C 2 の交点を Q とするとき, Q の x 座標を a を用いて表せ.
(2) l と C 1 , C2 との接点をそれぞれ P1 , P2 とするとき, P1 , P2 の x 座標をそれぞれ a を用いて表せ.
(3) Q を通り y 軸に平行な直線は, C1 , C2 と l で囲まれた図形の面積 S を 2 等分することを示せ.
2023-10280-0103
【3】 ▵ABC と ▵DEF は以下の(ア)と(イ)の条件をそれぞれみたす.
(ア) (AB →- BC→ )⋅ (AB →- CB→ )=0
(イ) DE→ ⋅EF→ =EF→ ⋅FD→ =FD→ ⋅DE→
このとき,次の問に答えよ.
(1) ▵ABC はどのような三角形か推定し,その推定が正しいことを証明せよ.
(2) ▵DEF はどのような三角形か推定し,その推定が正しいことを証明せよ.
2023-10280-0104
【4】 A , B , C , D , E , F , G , H の 8 チームが下の図で示すトーナメント方式で競技を行う. A と B の対戦では,どちらが勝つ確率も 12 とする. C , D , E , F , G , H の 6 チームのうち,どの 2 チームが対戦する場合にも,両チームとも勝つ確率は 12 とする.また, A あるいは B が C , D , E , F , G , H のいずれかと対戦するときに勝つ確率は 23 とする.ただし,引き分けは起こらないものとする.このとき,次の問いに答えよ.
には A , B , C , D , E , F , G , H のいずれかが入る.
(1) A はブロック 1 に, B はブロック 2 に配置され, C から H の 6 チームは無作為に配置されるとき, A が優勝する確率を求めよ.
(2) A と B も含めた 8 チームが無作為に配置されるとき, A が優勝する確率を求めよ.
2023-10280-0105
【5】 0≦θ <2⁢π のとき, θ の関数を次のように定義する.
y=-cos ⁡2⁢θ +3⁢ sin⁡2⁢ θ -cos⁡ θ-3 ⁢sin⁡ θ
このとき,次の問いに答えよ.
(1) y が実数 a , b , c , k を用いて
y=a⁢ s2+ b⁢s+ c , s=cos⁡ θ+k⁢ sin⁡θ
と表されるとき, a , b , c , k の値をそれぞれ求めよ.
(2) y≦0 を満たす θ の範囲を求めよ.