2023　東京海洋大学　前期海洋工学部

【１】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(0,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(7,6)$がある．点$\mathrm{P}$は座標平面上を

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot (2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}})=0$

を満たしながら動くとする．

(1)　点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．また，軌跡と$x$軸，$y$軸との共有点を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABP}$の面積が最大になるときの$\mathrm{P}$の座標および$\mathrm{▵ABP}$の面積を求めよ．

【２】　座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする円を$C_1\text{，}$放物線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+ax+b$を$C_2$とする．ただし，$a\text{，}$$b$は実数とする．$C_1$と$C_2$は点$\mathrm{P}$$(2,-1)$を共有点にもち，かつ$\mathrm{P}$において共通の接線$l$をもつとする．また，$C_2$の頂点を通り$y$軸に平行な直線を$m$とし，$l$と$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{OQ}\text{，}$放物線$C_2\text{，}$直線$m$および$y$軸で囲まれる図形の面積は，直線$\mathrm{OP}$により二等分されることを示せ．

【３】　座標平面上で$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．自然数$n$に対して，座標平面において連立不等式

$y\leqq -{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+3n^2\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$

によって表される領域を$D_n$とする．

(1)　$D_1$に含まれる格子点の総数を求めよ．

(2)　$D_n$に含まれ，かつ直線$x=0$上にある格子点の総数を$n$を用いて表せ．

(3)　$D_n$に含まれ，かつ直線$x=1$上にある格子点の総数を$n$を用いて表せ．

(4)　自然数$k$に対して，$D_n$に含まれ，かつ直線$x=3k-2$上にある格子点の総数を$k\text{，}$$n$を用いて表せ．

(5)　$D_n$に含まれる格子点の総数を$n$を用いて表せ．

【４-Ⅰ】　実数$a$に対して，座標平面上の放物線$C_1\text{：}y=x^2-1$と放物線$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-a)}^2$の共有点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る直線を$l$とする．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$a$が$-1\leqq a\leqq 1$を満たしながら動くとき，$l$が通過しうる領域$D$を図示せよ．

(3)　$a$が(2)の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過しうる領域の面積を求めよ．

【４-Ⅱ】　関数$f(x)=-\cos x+{\displaystyle \frac{\cos x}{2\sqrt{2}\sin x}}$$\text{（}0<x<\pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　極限$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$と$\underset{x\to \pi -0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}}|f(x)|\mathit{dx}$の値を求めよ．