2023　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の定数とし，$f(x)=a\log x\text{，}$$g(x)=x^2$とする．曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$とが共有点$\mathrm{P}$を持ち，かつ点$\mathrm{P}$において共通の接線$l$を持つとする．点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)　$a$および$t$の値を求めなさい．

(2)　接線$l$の方程式を求めなさい．

(3)　接線$l$と放物線$y=g(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【２】　サイコロを$3$回振り，$1$回目，$2$回目，$3$回目に出た目をそれぞれ$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$X_3$とする．有理数

$q={(-1)}^{X_3}\cdot {\displaystyle \frac{X_2}{X_1}}$

について，下の問いに答えなさい．

(1)　$q<0$となる確率を求めなさい．

(2)　$q$が整数となる確率を求めなさい．

(3)　$q>1$となる確率を求めなさい．

【３】　空間内の異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$について，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，

$\overrightarrow{c}={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a}$

とする．下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=0$であることを示しなさい．

(2)　${\left|\overrightarrow{c}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2({\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})}^2)$であることを示しなさい．

(3)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$とのなす角を$\theta$とする．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．$\left|\overrightarrow{c}\right|={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\left|\overrightarrow{b}\right|\sin \theta$であることを示しなさい．

(4)　$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$(0,0,0)\text{，}$$(1,-2,0)\text{，}$$(-1,1,1)$として，$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めなさい．

【４】　$n$を自然数とする．$n$桁の自然数のうち，次の条件(＊)を満たすものの個数を$a_n$とし，条件(＊)を満たさないものの個数を$b_n$とする．

(＊)　$3$の倍数であるか，または，いずれかの桁の数字が$3$である．

下の問いに答えなさい．

(1)　$a_1$および$b_1$を求めなさい．

(2)　$n$桁の自然数のうち，どの桁の数字も$3$でないものの個数を$c_n$とするとき，$c_n$を$n$で表しなさい．

(3)　$n\geqq 2$とするとき，$b_n$を$n$で表しなさい．

(4)　$n\geqq 2$とするとき，$a_n$を$n$で表しなさい．