2023　福井大学　後期

【１】　以下の各問にそれぞれ答えよ．

(1)　次の極限値$S$を求めよ．

$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{k^2+n^2}}$$=\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{1+n^2}}+{\displaystyle \frac{2}{4+n^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{n^2+n^2}})$

【１】　以下の各問にそれぞれ答えよ．

(2)　点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に点$\mathrm{A}$$(2,0)$がある．$\mathrm{O}$を中心として左回りに$\mathrm{A}$を$\theta$ラジアン回転した点を$\mathrm{B}$とする．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．点$\mathrm{A}$を直線$\mathrm{OB}$に関して対称移動した点を$\mathrm{C}$とし，点$\mathrm{B}$を直線$\mathrm{OA}$に関して対称移動した点を$\mathrm{D}$とする．$T$を三角形$\mathrm{OCD}$の面積とする．ただし，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が同一直線上にあるときは，$T=0$とする．$T$が最大になる$\theta$の値を求めよ．

【２】　以下の各問にそれぞれ答えよ．

(1)　$n$を正の整数とする．${(1+x)}^n$$={\displaystyle \sum _{k=0}^n{}_{n}C_k}{x}^k$$={}_{n}C_0{x}^0+\cdots +{}_{n}C_n{x}^n$であることを用いて，次の等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{3^{n+1}-1}{n+1}}={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{{}_{n}C_k}{k+1}}{2}^{k+1}$

【２】　以下の各問にそれぞれ答えよ．

(2)　$xy$平面上の動点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標が$(x,y)$$=(t-\sin t,1-\cos t)$であるとし，時刻$t$における動点$\mathrm{P}$の速さを$v(t)$とおく．$t>0$において$v(t)=0$となる最小の$t$を$t_1$とし，時刻$t=0$から$t=t_1$まで動点$\mathrm{P}$が移動した道のりを$L$とおく．$L$の値を求めよ．

【３】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$があり，次の漸化式を満たすとする$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）．}$

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=(1-s)a_n+t{b}_n\\ b_{n+1}=s{a}_n+(1-t)b_n\end{array}$

ただし，$s\text{，}$$t$は実数の定数であり，$s+t\ne 0$とする．また，$a_1=b_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．さらに，$c_n=a_n+b_n\text{，}$$d_n=s{a}_n-t{b}_n$とおく$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）．}$以下の問いに答えよ．

(1)　$c_{n+1}\text{，}$$d_{n+1}$を$c_n\text{，}$$d_n$を用いて表せ．

(2)　$2$つの数列$\{c_n\}\text{，}$$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　空間内に平面$\alpha$がある．$\alpha$上に，点${\mathrm{O}}_1$を中心とする半径$1$の円$C_1$があり，$C_1$上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は，弦$\mathrm{AB}$が点${\mathrm{O}}_1$を通るものとする．点$\mathrm{F}$は，直線$\mathrm{BF}$が$\alpha$に垂直で，線分$\mathrm{BF}$の長さが$2$であるものとする．今，線分$\mathrm{AB}$上に点${\mathrm{O}}_2$をとり，線分$\mathrm{A}{\mathrm{O}}_2$の長さを$t$とおく．ただし，$0<t\leqq 1$とする．$C_1$の$2$点$\mathrm{X}\text{，}$${\mathrm{X}}^{\prime }$は，弦$\mathrm{X}{\mathrm{X}}^{\prime }$が点${\mathrm{O}}_2$を通り，直線$\mathrm{AB}$に直交するものとする．点$\mathrm{Y}$は，線分$\mathrm{AF}$上にあり，直線${\mathrm{O}}_2\mathrm{Y}$が直線$\mathrm{BF}$に平行であるものとする．$3$点$\mathrm{X}\text{，}$${\mathrm{X}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{Y}$を通る平面を$\beta$とおく．$\beta$上の$2$点$\mathrm{X}\text{，}$${\mathrm{X}}^{\prime }$を通り，$\mathrm{Y}$を頂点とする放物線を$C_2$とおく．$\beta$上で，$C_2$と線分$\mathrm{X}{\mathrm{X}}^{\prime }$で囲まれた領域を$D$とおく．以下の各問にそれぞれ答えよ．

(1)　平面$\beta$上の各点の$(x,y)$座標を，${\mathrm{O}}_2$を原点$(0,0)$とし，半直線${\mathrm{O}}_2\mathrm{X}$を$x$軸の正の部分とし，半直線${\mathrm{O}}_2\mathrm{Y}$を$y$軸の正の部分として定めるとき，放物線$C_2$の方程式を$x\text{，}$$y\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　$D$の面積を$M$とおく．$M$を$t$を用いて表せ．

(3)　${\mathrm{O}}_2$が$\mathrm{A}$から${\mathrm{O}}_1$まで移動するとき$D$が通過してできる立体の体積を$V$とおく．$V$の値を求めよ．ただし，$t=0$のとき，$M=0$とおく．