2023　静岡大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3{e}^{-x^2}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．必要ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^3}{e^{x^2}}}=0$を用いてもよい．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　$a>0$とする．方程式$e^{x^2}-a{x}^3=0$の実数解の個数を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$に対して，不等式$n<{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n$が成り立つことを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n=0$が成り立つことを示せ．

(3)　すべての$n$に対して，不等式${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}<3{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n-3$が成り立つことを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n=0$が成り立つことを示せ．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1$とし，線分$\mathrm{A}{\mathrm{A}}_1$と線分$\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1$の交点を${\mathrm{A}}_2\text{，}$線分$\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1$と線分$\mathrm{C}{\mathrm{C}}_1$の交点を${\mathrm{B}}_2\text{，}$線分$\mathrm{C}{\mathrm{C}}_1$と線分$\mathrm{A}{\mathrm{A}}_1$の交点を${\mathrm{C}}_2$とする．$\mathrm{▵ABC}\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$の面積をそれぞれ$S\text{，}$$S_2$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{A}}_1}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{A}}_2}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{C}}_2}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵BA}{\mathrm{C}}_2$の面積と$\mathrm{▵B}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{C}}_2$の面積は等しいことを示せ．

(3)　面積比$S:S_2$を求めよ．

【４】　箱の中に$15$本のくじが入っている．そのうち，$5$本が当たりくじで，$10$本がはずれくじである．箱の中からくじを$1$本引いて当たりかはずれかを確認し，引いたくじを箱に戻す試行を考える．この試行をくり返し，次の条件(a)または(b)が満たされた時点で終了する．

(a)　当たりくじを合計$3$回引く

(b)　はずれくじを連続して$3$回引く

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　ちょうど$4$回でくじ引きが終了する確率を求めよ．

(2)　ちょうど$5$回でくじ引きが終了する確率を求めよ．

(3)　ちょうど$7$回でくじ引きが終了する確率を求めよ．

【１】　$2$つの関数

$f(x)=(x-1){(x-4)}^2\text{，}$$g(x)=|(x-1)(x-4)|(x-4)$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形を描け．

(2)　$x=4$における$g(x)$の微分係数$g^{\prime }(4)$を微分係数の定義にしたがって求めよ．

(3)　実数$c$に対して，方程式$g(x)=c$の実数解の個数を求めよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^2}g(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

【１】　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(14,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(5,3)$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の重心の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の外心の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の内心の座標を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n-n^2+n+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n=a_n-n^2-n$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．