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2023-10461-0201
2023 静岡大学 後期
理(数学科,創造理学コース),工,情報学部
配点は数学科20%,創造理学コース,工,情報学部25%
易□ 並□ 難□
【1】 自然数 n に対して (1+ 2) n を
( 1+2 )n =xn +yn ⁢2 ( xn , yn は自然数)
と表す.(ただし,このような自然数 x n , yn が一意に定まることは認めてよい.)また, zn= xn2 -2⁢ yn2 とおく.数列 { xn }, {y n} , {z n} について,次の問いに答えよ.
(1) xn+ 1 , yn+ 1 を, xn , yn を用いてそれぞれ表せ.
(2) zn+ 1 を z n を用いて表せ.
(3) 数列 { zn } の一般項 z n を求めよ.
(4) 方程式 x 2-2 ⁢y2 =1 を満たす自然数 x , y の組 ( x,y ) を 4 組求めよ.
2023-10461-0202
【2】 2 つの正の数 c , d に対して,座標空間の 4 点 A (2, 1,0 ), B (0, 2,-1 ), C (c, 0,-2 ⁢c) , D (d, -d,d ) を考える. ▵ABC は正三角形とし, ∠ABD= π6 とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) c , d の値をそれぞれ求めよ.
(2) 3 点 A , B , C を通る平面 α に点 D から下ろした垂線を DE とする.点 E の座標を求めよ.
(3) 四面体 ABCD の体積を求めよ.
2023-10461-0203
理(数学科)学部
配点は数学科20%
【3】 実数 p , q に対して,方程式 x 3+p⁢ x+q= 0 は異なる 2 つの実数解 α , β をもつとする.ここで, α は重解とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) p , q および β を,それぞれ α を用いて表せ.
(2) α=2 のとき x 3+p⁢ x+q> 0 となる実数 x の値の範囲を求めよ.
(3) α=2 とする.曲線 y =x3 +p⁢x +q と直線 y =3⁢x +t の共有点がちょうど 2 個であるとき, t の値とそのときの 2 つの共有点の座標を求めよ.
2023-10461-0204
【4】 実数 a , b は 1 <a<b を満たすとする. 0≦x ≦1 で定義された関数
f⁡( x)= 12 ⁢ (ax ⁢b 1−x +a1 −x⁢ bx )
に対して,次の問いに答えよ.ただし, log は自然対数とする.
(1) 1 ではない正の実数 c に対して (c x) ′= cx⁢ log⁡c であることを,対数微分法を用いて示せ.
(2) 第 1 次導関数 f ′⁡ (x ) および第 2 次導関数 f ″⁡ (x ) をそれぞれ求めよ.
(3) 関数 f ⁡(x ) の増減を調べ,最大値と最小値を求めよ.
(4) 定積分 ∫01 f⁡ (x) ⁢dx を求めよ.
(5) 次の不等式が成り立つことを示せ.
a⁢b ≦ b−a log⁡b -log⁡a ≦ a +b2
2023-10461-0205
理(数学科),教育学部
教育学部は【3】
配点は数学科20%,教育学部35%
【5】 複素数平面上の 3 点 A⁡ (α ), B⁡ (β ), C⁡ (γ ) を頂点とする ▵ABC は正三角形であるとする.また, ω= γ-α β-α とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) n=1 , 2 , 3 , 4 , 5 に対しては ω n≠1 であり,かつ ω6= 1 であることを示せ.
(2) ω2 -ω+1 =0 であることを示せ.
(3) α2 +β2 +γ2 =β⁢γ +γ⁢α +α⁢β であることを示せ.
(4) α=2 -i , β=5 +i のとき, γ の値を求めよ.ただし, i は虚数単位とする.
2023-10461-0206
理(創造理学コース),工,情報学部
配点25%
【3】 正の数に対して,次の 2 つの不等式を考える.
x2+ 2⁢x- k>0 ⋯ ①
x2 -k2 <0 ⋯ ②
このとき,次の問いに答えよ.
(1) ① を満たす実数 x の値の範囲を k を用いて表せ.
(2) ① と ② を同時に満たす実数 x の値の範囲を k を用いて表せ.
(3) ① と ② を同時に満たすような整数 x は x =1 のみとなる k の値の範囲を求めよ.
(4) ① と ② を同時に満たすような整数 x は x =2 のみとなる k の値を求めよ.
2023-10461-0207
教育学部
配点30%
【1】 次の問いに答えよ.ただし, log は自然対数とする.
(1) 不定積分 ∫x⁢ log⁡x⁢ dx を求めよ.
(2) t を実数とするとき定積分
I⁡( t)= ∫ 1e x⁢| log⁡x- t| ⁢dx
を求めよ.ただし, e は自然対数の底とする.
(3) 実数 t が 0 ≦t≦1 の範囲を動くとき, I⁡( t) の最大値と最小値を求めよ.
2023-10461-0208
配点35%
【2】 - π2< x< π2 で定義された 2 つの関数 f ⁡(x )=1 +2⁢cos ⁡x , g⁡( x)= 1 cos⁡x を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 曲線 y =f⁡( x) と曲線 y =g⁡( x) の共有点の x 座標をすべて求めよ.
(2) - π3≦ x≦ π3 のとき,不等式 f ⁡(x )≧g ⁡(x )>0 が成り立つことを示せ.
(3) 曲線 y =f⁡( x) と曲線 y =g⁡( x) で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
(4) 曲線 y =f⁡( x) と曲線 y =g⁡( x) で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.