2023　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　自然数$a$で

$a\leqq \sqrt[3]{10}<a+1$

となるものを求めよ．

問２　$a$を問１で求めた値とする．さらに$b$を$0$以上$9$以下の整数とするとき，

$a+{\displaystyle \frac{b}{10}}\leqq \sqrt[3]{10}<a+{\displaystyle \frac{b+1}{10}}$

となるような$b$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_n=2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2^n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

問１　$2$以上のすべての自然数$n$について

$a_2\times a_3\times a_4\times \cdots \times a_n\times \sin {\displaystyle \frac{\pi }{2^n}}=1$

となることを，数学的帰納法を用いて示せ．

問２　極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\displaystyle \frac{a_2}{2}}\right)\times \left({\displaystyle \frac{a_3}{2}}\right)\times \left({\displaystyle \frac{a_4}{2}}\right)\times \cdots \times \left({\displaystyle \frac{a_n}{2}}\right)$

を求めよ．

【３】　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$また$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が定める平面を$\alpha$とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ求めよ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が平面$\alpha$に垂直となるように，$p\text{，}$$q$の値を定めよ．

【４】　$f(t)=e^t\text{，}$$g(t)=t^2{e}^t$とし，$t$がすべての実数を動くとき

$\{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$

で与えられる曲線を$C$とする．この曲線$C$の概形は右図である．

以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

問１　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(f(t),g(t))$で曲線$C$に接する接線の方程式を$t$を用いて表せ．

問２　問１において$t=-1$としたときの接線を$l$とする．接線$l$と曲線$C$の交点は$(e^{-1},e^{-1})$のみであることを示せ．

問３　曲線$C$と問２の接線$l$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{1+e^x}}$

について，

$g(x)=f(x)+f(-x)\text{，}$$h(x)=f(x)-f(-x)$

とおく．以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

問１　定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}g(x)\mathit{dx}$

の値を求めよ．

問２　$h(x)$は奇関数であることを示せ．

問３　定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)\mathit{dx}$

の値を求めよ．