2023　滋賀大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数とする．$n+1$から$2n$までの積を$a_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_4$を素因数分解せよ．

(2)　$a_n=2^n\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (2n-1)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　$a_n$を$2^{n+1}$で割った余りを求めよ．

【２】　$3$個のさいころを同時に投げる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　出る目が$3\text{，}$$4\text{，}$$5$それぞれ$1$個ずつとなる確率を求めよ．

(2)　出る目の中央値が$3$となる確率を求めよ．

(3)　出る目の最大値と最小値の差が$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$ $4\text{，}$$5$となる確率をそれぞれ求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{\angle A}=A\text{，}$$\mathrm{\angle B}=B\text{，}$$\mathrm{\angle C}=C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos 2A+\cos 2B$$=2\cos (A+B)\cos (A-B)$が成り立つことを示せ．

(2)　$1-\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C$$=4\sin A\sin B\cos C$が成り立つことを示せ．

(3)　$A=B$のとき，$1-\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C$の最小値を求めよ．

【４】　$t>0$とする．放物線$C\text{：}y=x^2-4x+5$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^2-4t+5)$から$x$軸，$y$軸にそれぞれ垂線$\mathrm{PA}\text{，}$$\mathrm{PB}$を下ろす．原点を$\mathrm{O}$とし，長方形$\mathrm{OAPB}$の内部で$C$の下側にある部分の面積を$S(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　関数$S(t)$の増減を調べよ．

【３B】　ある工場で作られているまんじゅうについて，まんじゅう$1$つの重さを$X$グラムとするとき，確率変数$X$が平均$m=40\text{，}$分散${\sigma }^2=18$の正規分布$N(40,18)$に従うとみなせるものとする．このとき，次の問いに答えよ．なお，$\sqrt{2}=1.41$とし，付表の正規分布表を利用してよい．

(1)　作ったすべてのまんじゅうの個数に対する，重さが$35$グラム以上のまんじゅうの個数の割合を求めよ．ただし，小数第$3$位を四捨五入せよ．

(2)　無作為に選ばれた$50$個のまんじゅうが入ったまんじゅうセットを考える．$1$つのセットに入ったまんじゅうの重さの合計を$Y$グラムとするとき，確率変数$Y$の平均と分散を求めよ．

(3)　(2)で考えたまんじゅうセットに対してある整数$T$を定め，「內容量約$T$グラム」という表記を付けることを考える．ここで$T$は，たくさんのまんじゅうセットから無作為に$1$つのセットを取り出した際に，$95\mathrm{\%}$以上の確率でそのセットに含まれるまんじゅうの重さの合計$Y$グラムが$Y\geqq T$となるように定める．このとき，$T$の最大値を求めよ．

【４D】　$a$を正の定数，$x>0$であるとし，次の$2$つの関数を考える．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi x}}}{e}^{-\frac{a}{2x}}$

$g(x)=\log f(x)$

　ただし，$e$を自然対数の底とし，$\log$は自然対数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$g(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．

(3)　$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．