2023　滋賀大学　後期経済学部MathJax

【１】　$3$人の生徒がそれぞれ$1$枚のコインと$1$個のさいころを$1$回ずつ投げる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　コインの表が出た生徒が少なくとも$1$人いるとき，$3$枚とも表である確率を求めよ．

(2)　表が出る生徒が$2$人で，そのうち少なくとも$1$人はさいころの$1$の目が出る確率を求めよ．

(3)　表と$1$の目が出た生徒が少なくとも$1$人いるとき，$3$枚とも表である確率を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=1\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+2}=3a_{n+1}+a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

(2)　$a_{4}x+a_{5}y=1$を満たす整数の組$(x,y)$のうち，$x$の絶対値が$50$に最も近いものを求めよ．

(3)　$n\geqq 3$について，$3<{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}<{\displaystyle \frac{10}{3}}$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}$$(\sqrt{3},1)$がある．点$\mathrm{P}$$(x,y)$が

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2=2\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}-1$

を満たして動くとき，$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．また，直線$ax+by=0$を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の方程式を求めよ．

(2)　$l$が$C$と共有点をもつための$a\text{，}$$b$の条件を示せ．

(3)　$l$と$C$が接するとき，接点の座標を求めよ．

(4)　$\mathrm{O}$から$C$へは$2$本の接線が引ける．これら$2$本の接線と$C$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$k$を定数とする．$3$次関数$f(x)=2x^3+k{x}^2$$-3(k+1)x-5$が$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$f(\alpha )-f(\beta )={(\beta -\alpha )}^3$が成り立つことを示せ．

(3)　極大値と極小値の差が$27$で$k>0$のとき，方程式$f(x)=m$が異なる$3$つの実数解をもち，正の解が$1$つであるような定数$m$の値の範囲を求めよ．