2023　滋賀大学　後期データサイエンス学部総合問題MathJax

【２】　次の会話を読み，(1)〜(16)の問いに答えよ．

きなこ：データサイエンスの研究のために大容量のハードディスクが必要だったんだけれど，どれも小さい容量で困ってるんだ．

たろう：同じハードディスクを$n$個$\text{（}n\geqq 2$の整数）合わせて$1$つのハードディスクのように見せるRAID 0 という技術があるよ．そうやって$1$つの大きなハードディスクにみえるものをディスクアレイってよぶよ．

きなこ：それいいね．それにしよう．

たろう：ただし，容量は$n$倍になるけれども，ハードディスクが$1$つでも故障するとRAID 0 ディスクアレイが故障するよ．

きなこ：今からハードディスクを買いにいってきます．

きなこ：ただいま．同じハードディスクをたくさん買ってきたよ．

たろう：RAID 0 で作ったディスクアレイが故障する確率を計算してみようか．どれか$1$つのハードディスクが故障する確率を$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$としよう．詳しく説明すると，あるハードディスクが，ある日に故障しているという事象を$E$としたとき，$P(E)=p$ということだよ．サイコロの目がでる確率と同じで，この確率はハードディスクによっても，日によっても変わらないことにしよう．また，ハードディスクの故障以外によるディスクアレイの故障は考えないことにしよう．

きなこ：簡単でしょ．ハードディスクを$2$個使ってRAID 0 ディスクアレイを作ると，そのディスクアレイが，ある日に故障する確率は$2p$だね．

たろう：ちがうよ．$E$が起きない確率（故障していない確率）を考えるといいよ．

きなこ：わかった．そのディスクアレイが故障する確率は$\text{(ア)}$だね．

たろう：そうだね．じゃあ，ハードディスクを$n$個使ったRAID 0 ディスクアレイが，ある日に故障する確率はどうなる？$q=1-p$として，$q$を使って書いてみて．

きなこ：$\text{(イ)}$かな．

たろう：正解．ちなみに，$n$個のハードディスクのうちどれか$k$個$\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$が，ある日に同時に故障する確率ってどうなるかわかる？

きなこ：$\text{(ウ)}$でしょ．

たろう：そうだね．

きなこ：_(a)ところで，RAID 0 ディスクアレイが故障する確率が$\text{(イ)}$ということは，合わせて使うハードディスクの数が多くなればなるほど故障する確率が上がってしまうね．どうしよう．

たろう：全く同じものを作ってコピーすればいいよ．

きなこ：どういうこと？

たろう：図１を見て．ハードディスク$2$台をあわせたRAID 0 ディスクアレイを$2$つ作って両方に同じデータをいれるの．ハードディスクは全部で$4$台いる．こうすれば，実質$2$台分のハードディスクの容量しか使えないけれども（ディスク容量の効率は$50\mathrm{\%}\text{），}$$2$つのRAID 0 ディスクアレイが同じ日に故障しない限り使える．$2$つのRAID 0 ディスクアレイが同じ日に故障する確率を計算しようか．

きなこ：とりあえず，RAID 0 ディスクアレイは考えないで，$4$つのハードディスクのうち$2$つ以上が同じ日に故障する確率を求めるね．

ハードディスク$4$つが同じ日に故障する確率は$\text{(エ)}\text{．}$

ハードディスク$3$つが同じ日に故障する確率は$\text{(オ)}\text{．}$

ハードディスク$2$つが同じ日に故障する確率は$\text{(カ)}\text{．}$

これを全部足せばいいね．

たろう：_(b)ハードディスク$2$つが同じ日に故障したとしても，$2$つのRAID 0 ディスクアレイのいずれかが故障していないことがあるよ．

きなこ：なるほど．そうしたら$2$つのRAID 0 ディスクアレイが同じ日に故障する確率は$\text{(キ)}$だ．

たろう：検算してみよう．$1$つのRAID 0 ディスクアレイが，ある日に故障する確率を$r$とする．RAID 0 ディスクアレイが$2$つとも同じ日に故障する確率を$r$で表すと$\text{(ク)}\text{．}$$r$を$p$を使って表すと$r=\text{(ケ)}$だから，確かに，$2$つのRAID 0 ディスクアレイが同じ日に故障する確率は$\text{(キ)}$になるね．

たろう：ちなみに，今紹介した方法よりもディスク容量の効率がよいディスクアレイの作り方や，故障する確率が低いディスクアレイの作り方があるよ．

きなこ：また今度勉強するね．さあRAID 0 ディスクアレイを試してみよう．

きなこ：あれ，ハードディスク$1$つを確認してみたところ，壊れているみたいだ．

たろう：初期不良だね．どこの会社のものか予想してみるよ．

きなこ：ハードディスクを見たら書いてあるじゃない？

たろう：まあそういわずに付き合ってよ．いま，手に入るハードディスクを作っているのは$\mathrm{A}$社，$\mathrm{B}$社，$\mathrm{C}$社の$3$社だよ．売っているハードディスクの数の比は$3:2:1$だよ．つまり，ランダムにハードディスクを買うと$\mathrm{A}$社，$\mathrm{B}$社，$\mathrm{C}$社のハードディスクを選ぶ確率は，それぞれ$1/2\text{，}$$1/3\text{，}$$1/6$だよ．

きなこ：じゃあ$\mathrm{A}$社のハードディスクの可能性が高いよね．

たろう：そうでもないよ，会社によって初期不良率が異なるから．それぞれの初期不良率は表１の通りだよ．

きなこ：これをみると，$\mathrm{C}$社のものかもしれないね．

たろう：ハードディスクが初期不良だったとき，それが$\mathrm{A}$社，$\mathrm{B}$社，$\mathrm{C}$社それぞれのハードディスクである確率を求めて，一番確率が高い会社のものと予想するのがいいね．

きなこ：ちょっと難しいな．

たろう：わかった．順番に考えようか．まず，あるハードディスクが$\mathrm{A}$社のものである事象を$A\text{，}$$\mathrm{B}$社のものである事象を$B\text{，}$$\mathrm{C}$社のものである事象を$C$としよう．それから，ハードディスクが初期不良である事象を$O$としよう．求めたい条件つき確率は，$P_O(A)\text{，}$$P_O(B)\text{，}$$P_O(C)$だね．

きなこ：わかった．でもどうやって求めるかがまだわからない．

たろう：確率の乗法定理はわかる？$P_O(A)\times P(O)$を式で表してみて．

きなこ：確率の乗法定理は，$\text{(コ)}=P_O(A)\times P(O)$だよね．

たろう：$\text{(コ)}=P_A(O)\times P(A)$とも書けるね．この値は求めることができるね．

きなこ：$P_A(O)\times P(A)=\text{(サ)}$よね．

たろう：あとは$P(O)$が求まれば，$P_O(A)$が求まるね．同じように，$P_O(B)\text{，}$$P_O(C)$も求められるね．

きなこ：$P(O)=\text{(シ)}$かなぁ．

たろう：そうだね．それであっているよ．

きなこ：_(c)$P_O(A)\text{，}$$P_O(B)\text{，}$$P_O(C)$が求まったよ．$P_O(A)\text{，}$$P_O(B)\text{，}$$P_O(C)$のうち，どれが一番大きいかを調べて，どの会社のハードディスクかを予想するんだったね．その予想方法では$\text{(ス)}$社のハードディスクになるね．_(d)あれ？$P(O)$を求めなくても$P_O(A)\text{，}$$P_O(B)\text{，}$$P_O(C)$のうち，どれが一番大きいかわかるじゃない．

たろう：そうだったね．答え合わせをしようか．

たろう：ちなみに，どうしてその会社のハードディスクを買ってきたの？

きなこ：全部同じデータ容量だったし，一番安かったのを選んだよ．

たろう：初期不良だったら，返品と新しいものへの取り換えで手間がかかっちゃうね．無料対応してくれるけれども，時間が無駄だよね．時は金なりっていうし，お金に換算したら初期不良のときっていくらか損しているって言っていいよね．

きなこ：ハードディスクの価格と初期不良のときに損する金額を考えるのか．

たろう：そうだね．初期不良のときに損する時間をお金に換算した金額（損失額）を$y$円として，_(e)価格と平均損失額の合計が低いほうを買うのがいいね．同じときは初期不良率が低いほうを選べばいいね．平均損失額は損失額$\text{（}y$円）に初期不良が発生する確率をかけると計算できるよ．

(1)　空欄(ア)にあてはまる確率を$p$を使って表せ．

(2)　空欄(イ)にあてはまる確率を$q$を使って表せ．

(3)　空欄(ウ)にあてはまる確率を$p$と$q$を使って表せ．必要であれば，順列の総数を表す記号${}_{n}P_r$や組み合わせの総数を表す記号${}_{n}C_r$を用いてよい．

(4)　下線部(a)が正しいことを説明せよ．

(5)　空欄(エ)，(オ)，(カ)にあてはまる確率を$p$を使って表せ．

(6)　下線部(b)となるような，故障するハードディスクの番号の組み合わせを全て答えよ．

(7)　空欄(キ)にあてはまる確率を$p$を使って表せ．

(8)　空欄(ク)にあてはまる確率を$r$を使って表せ．

(9)　空欄(ケ)にあてはまる確率を$p$を使って表せ．

(10)　空欄(コ)を埋めて式を完成させよ．

(11)　空欄(サ)にあてはまる値を求めよ．

(12)　空欄(シ)にあてはまる値を求めよ．

(13)　下線部(c)に書かれてある$P_O(A)\text{，}$$P_O(B)\text{，}$$P_O(C)$をそれぞれ求めよ．

(14)　空欄(ス)にあてはまる記号を求めよ．

(15)　下線部(d)はなぜか．説明せよ．

(16)　下線部(e)について，$\mathrm{A}$社と$\mathrm{B}$社のハードディスクの価格差$\text{（}\mathrm{A}$社のハードディスク価格$-$$\mathrm{B}$社のハードディスク価格）を$x$円とし，$x$と$y$がどのような関係のときに$\mathrm{B}$社のハードディスクよりも$\mathrm{A}$社のハードディスクを選ぶべきか．$\mathrm{A}$社のものを選ぶべき$x\text{，}$$y$全体の集合，すなわち$xy$平面$\text{（}y\geqq 0\text{）}$上の領域$D$を求め図示せよ（領域$D$を求める途中式も書くこと）．

《補足説明》(6)における「ハードディスクの番号」とは，図１におけるハードディスク$1\text{，}$ハードディスク$2\text{，}$ハードディスク$3\text{，}$ハードディスク$4$のことを指す．