2023　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　$r\text{，}$$s$を正の実数とする．放物線$y=x^2$と円$x^2+{(y-s)}^2=r^2$の共有点の個数$N$を考える．

(1)　$N$が奇数であるような$(r,s)$の範囲を$rs$平面上に図示せよ．

(2)　$N=2$であるような$(r,s)$の範囲を$rs$平面上に図示せよ．

(3)　$N=0$であるような$(r,s)$の範囲を$rs$平面上に図示せよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$の各辺上に頂点以外の点を$1$つずつとり，その$6$点を考える．

(1)　$6$点のうちの$4$点を頂点とする平行四辺形が作れるとき，平行四辺形の辺は四面体のある辺と平行であることを示せ．

(2)　$6$点のうちの$4$点を頂点とする平行四辺形が$2$つ作れるとき，$2$つの平行四辺形は対角線の$1$本を共有することを示せ．

(3)　(2)において，共有する対角線の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

【３】Ⅰ．赤玉$4$個，白玉$4$個が入っている袋から，玉を$1$個ずつ$6$回続けて取り出す．ただし，取り出した玉はもとに戻さないものとする．

(1)　袋の赤玉がすべてなくなっている確率を求めよ．

(2)　ちょうど$6$回目に袋の赤玉がすべてなくなる確率を求めよ．

【３】Ⅱ．袋に赤玉$a$個，白玉$b$個が入っている．袋から玉を$1$個取り出し，その玉をもとに戻した上で，その玉と同じ色の玉を新たに$1$個袋に入れる．この試行を$n$回続けて行うとき，袋には$a+b+n$個の玉が入っている．

(1)　$1$回目，$2$回目，$3$回目に赤玉が出る確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$n$回目に赤玉が出る確率を求めよ．

【４】　実数全体を定義域とする微分可能な関数$f(x)$は，常に$f(x)>0$であり，等式

$f(x)=1+{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^x(1+t)f(t)\mathit{dt}$

を満たしている．

(1)　$f(0)$を求めよ．

(2)　$\log f(x)$の導関数${(\log f(x))}^{\prime }$を求めよ．

(3)　関数$f(x)$を求めよ．

(4)　方程式$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$を解け．