2023　大阪教育大学　前期

【１】　$2$次方程式$x^2+x-1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．次の式の値を求めよ．

(1)　$(\alpha -1)(\beta -1)$

(2)　${\alpha }^4+{\beta }^4$

(3)　${\alpha }^{16}+{\beta }^{16}$

(4)　${(\alpha +1)}^8+{(\beta +1)}^8$

(5)　${({\alpha }^3+1)}^8+{({\beta }^3+1)}^8$

(6)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{17}}({\alpha }^k+{\beta }^k)$

【２】　下の図のように，$1$番目，$2$番目，$3$番目，$4$番目，$\cdots$と同じ平行四辺形を並べた図形を考える．それらの図形の中に，線分によって大小様々な形の平行四辺形ができる．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$番目の図形の中に，平行四辺形は全部でいくつあるか．

(2)　$3$番目の図形の中に，平行四辺形は全部でいくつあるか．

(3)　$4$番目の図形の中に，平行四辺形は全部でいくつあるか．

(4)　$n$番目の図形の中に，平行四辺形は全部でいくつあるか．

【３】　曲線$C\text{：}4x^2+y^2=4$とする．直線$l\text{：}y=2(x-1)$と曲線$C$で囲まれた部分のうち，原点を含まない方を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$と直線$l$の交点の座標を求めよ．

(2)　直線$l$に平行な，曲線$C$の接線の方程式を求めよ．

(3)　$D$の面積を，三角関数の置換積分法を用いた定積分を計算して求めよ．

(4)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_1$を求めよ．

(5)　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ．