2023　大阪教育大学　後期

【１】　次の問いに答えよ．ただし，$\sqrt{3}$が無理数であることは用いてよい．

(1)　$s\text{，}$$t$が有理数であるとき，$s+t\sqrt{3}=0$ならば$s=t=0$であることを証明せよ．

(2)　$1+\sqrt{3}$が方程式$x^3+px+q=0$の解であるような有理数$p\text{，}$$q$の値と他の解を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，次の等式を満たすような自然数$a_n\text{，}$$b_n$が存在することを示せ．

${(1+\sqrt{3})}^n=a_n+b_n\sqrt{3}$

(4)　$n$が自然数であるとき${(1-\sqrt{3})}^n$は無理数であることを証明せよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sin x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$を用いて，定義に従って，$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$0<t<\pi$とし，点$(t,f(t))$における接線の方程式を$y=mx+n$とする．このとき，$0<x<\pi \text{，}$$x\ne t$となるすべての$x$について，不等式

$mx+n<f(x)$

が成り立つことを証明せよ．

(4)　$0<a<b<\pi$のとき，不等式

$f\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)<{\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}}$

が成り立つことを，(3)の不等式を用いて，証明せよ．

(5)　点$({\displaystyle \frac{\pi }{3}},f({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\left)\right)$における接線，点$({\displaystyle \frac{2}{3}}\pi ,f({\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \left)\right)$における接線および曲線$y=f(x)$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$0$以上のすべての整数$n$に対し，

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{n}x\mathit{dx}$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$I_2$および$I_3$を求めよ．

(2)　$2$以上のすべての整数$n$に対し，等式

$I_n={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{I}_{n-2}$

が成立することを示せ．

(3)　$1$以上のすべての整数$n$に対し，不等式$I_{2n+1}\leqq I_{2n}\leqq I_{2n-1}$が成立することを示し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}}$を求めよ．

(4)　$I_{2n}$および$I_{2n+1}$を求めよ．

(5)　等式

${\displaystyle \frac{1}{I_{2n+1}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{I_{2n}{I}_{2n+1}}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}}}$

を用いて，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}{I}_{2n+1}}}$を求めよ．

(6)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{}_{2n}C_n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2n}$を求めよ．ただし，${}_{n}C_k$は$n$個から$k$個取る組合せの総数を表す．