2023　奈良女子大学　後期

$F(x)={\displaystyle {\int }_1^x}(x-2t)g^{\prime }(t)\mathit{dt}$$\text{（}x>0\text{）}$

をみたすとする．ここで$g^{\prime }(t)$は$g(t)$の導関数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$F(x)$の導関数$F^{\prime }(x)$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．

$F^{\prime }(x)=g(x)-g(1)-x{g}^{\prime }(x)$

(2)　$g(x)=x{(\log x)}^2$のとき，$F(x)$を求めよ．ここで対数は自然対数とする．

(1)　$r$の条件を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の$2$つの共有点の座標をそれぞれ$r$を用いて表せ．

(3)　$C_1$と$C_2$の$2$つの共有点のうち$x$座標が大きいほうを$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{D}$における$C_1$の接線を$l_1\text{，}$点$\mathrm{D}$における$C_2$の接線を$l_2$とする．$l_1$の傾きと$l_2$の傾きをそれぞれ$r$を用いて表せ．

(4)　(3)で定めた直線$l_1\text{，}$$l_2$について，$l_1$と$l_2$のなす角を$\theta$$(0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となるような$r$の値をすべて求めよ．

$z=(a+\sqrt{3}i)(3+ai)\text{，}$$w=1+\sqrt{3}i$

を考える．$z$は$\left|z\right|=6\sqrt{2}$をみたすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$z$の偏角$\theta$を$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で求めよ．

(3)　$z^{n}w$が実数となる最小の自然数$n$を求めよ．