2023　鳥取大学　前期

2023-10661-0101

2023　鳥取大学　前期

工,医(生命科,保健学科),農,教育学部

農,教育学部は【２】

易□　並□　難□

【１】　 $▵ABC$ において， $∠A = 60 ° ，$ $AB = 8 ，$ $AC = 6$ とする． $▵ABC$ の垂心を $H$ とするとき， $\vec{AH}$ を $\vec{AB} ，$ $\vec{AC}$ を用いて表せ．

2023-10661-0102

2023　鳥取大学　前期

工,医(医,生命科,保健学科)農,教育学部

医学科は【１】,農,教育学部は【３】

易□　並□　難□

【２】　箱 $A$ の中に赤球 $6$ 個と白球 $n$ 個の合計 $n + 6$ 個の球が入っている．箱 $B$ の中に白球 $4$ 個の球が入っている．ただし， $n$ は自然数とし，球はすべて同じ確率で取り出されるものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　箱 $A$ から同時に $2$ 個の球を取り出すとき，赤球が $1$ 個と白球が $1$ 個取り出される確率を $p_{n}$ とする． $p_{n}$ が最大となる $n$ と，そのときの $p_{n}$ の値を求めよ．

(2)　箱 $A$ から同時に $2$ 個の球を取り出し箱 $B$ に入れ，よくかき混ぜた後で箱 $B$ から同時に $2$ 個の球を取り出すとき，赤球が $1$ 個と白球が $1$ 個取り出される確率を $q_{n}$ とする． $q_{n} < \frac{1}{3}$ となる $n$ の最小値を求めよ．

2023-10661-0103

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2023　鳥取大学　前期

工,医(医,生命科,保健学科)学部

易□　並□　難□

【３】　 $x, y$ 平面上において，曲線 $C ： y = \sqrt{x}$ と，直線 $l ： y = x$ を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　 $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積を求めよ．

(2)　曲線 $C$ 上の点 $P$ $(x, \sqrt{x})$ $（ 0 ≦ x ≦ 1 ）$ に対し，点 $P$ から直線 $l$ に下ろした垂線と，直線 $l$ との交点を $Q$ とする．線分 $PQ$ の長さを $x$ を用いて表せ．

(3)　 $C$ と $l$ で囲まれる図形を直線 $l$ の周りに一回転してできる立体の体積を求めよ．

2023-10661-0104

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2023　鳥取大学　前期

工,医(生命科,保健学科)学部

医学科【４】の類題

易□　並□　難□

【４】　負でない整数 $n = 0 ，$ $1 ，$ $2 ， \dots$ と正の実数 $x > 0$ に対し，

$I_{n} = \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} e^{- t} dt$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　 $I_{0} ，$ $I_{1}$ を求めよ．

(2)　 $n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ， \dots$ に対し， $I_{n}$ と $I_{n - 1}$ の関係式を求めよ．

(3)　 $I_{n}$ $（ n = 0 ，$ $1 ，$ $2 ，$ $\dots ）$ を求めよ．

2023-10661-0105

2023　鳥取大学　前期

医(医学科)学部

農,教育学部【４】の類題

易□　並□　難□

【２】　 $0 < θ < \frac{π}{2}$ である $θ$ が $\cos θ + \cos 2 θ + \cos 3 θ + \cos 4 θ = 0$ を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $\cos θ$ の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた $\cos θ$ に対して，数列 ${a_{n}}$ を

$a_{n} = {(2 \cos θ)}^{n} + {(1 - 2 \cos θ)}^{n}$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

と定める．このとき， $a_{n + 2}$ を $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ を用いて表せ．

(3)　(2)で定めた数列 ${a_{n}}$ について， ${(- 1)}^{n} {a_{n} a_{n + 2} - {(a_{n + 1})}^{2}}$ は $n$ によらない定数であることを示せ．

2023-10661-0106

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2023　鳥取大学　前期

医(医学科)学部

工,医(生命科,保健学科)学部【４】の類題

易□　並□　難□

【４】　負でない整数 $n = 0 ，$ $1 ，$ $2 ， \dots$ と正の実数 $x > 0$ に対し，

$I_{n} = \int_{0}^{x} t^{n} e^{- t} dt$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　 $I_{0} ，$ $I_{1}$ を求めよ．

(2)　 $n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ， \dots$ に対し， $I_{n}$ と $I_{n - 1}$ の関係式を求めよ．

(3)　 $I_{n}$ $（ n = 0 ，$ $1 ，$ $2 ，$ $\dots ）$ を求めよ．

2023-10661-0107

2023　鳥取大学　前期

地域,農学部

易□　並□　難□

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　自然数 $x ，$ $y$ が， $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} ，$ $x > y$ を満たすとき， $y$ の値の範囲を求め， $x ，$ $y$ の組合せをすべて求めよ．

(2)　自然数 $x ，$ $y ，$ $z$ が， $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2} ，$ $x > y > z$ を満たすとき， $z$ の値の範囲を求め， $x ，$ $y ，$ $z$ の組合せをすべて求めよ．

2023-10661-0108

2023　鳥取大学　前期

地域,農学部

医学科【２】の類題

易□　並□　難□

【４】　 $0 < θ < \frac{π}{2}$ である $θ$ が $\cos θ + \cos 2 θ + \cos 3 θ + \cos 4 θ = 0$ を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $\cos θ$ の値を求めよ．

(2)　 $n$ を自然数とするとき，次の恒等式が成り立つことを示せ．

$α^{n + 2} + β^{n + 2}$ $= (α^{n + 1} + β^{n + 1}) (α + β) - α β (α^{n} + β^{n})$

(3)　(1)で求めた $\cos θ$ に対して，数列 ${a_{n}}$ を

$a_{n} = {(2 \cos θ)}^{n} + {(1 - 2 \cos θ)}^{n}$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

と定める．このとき， $a_{n + 2}$ を $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ を用いて表せ．

(3)　(2)で定めた数列 ${a_{n}}$ について， ${(- 1)}^{n} {a_{n} a_{n + 2} - {(a_{n + 1})}^{2}}$ は $n$ によらない定数であることを示せ．