2023　島根大学　前期MathJax

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

(2)　$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．

(3)　$a$を実数の定数とする．このとき，${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}-6at=0$をみたす$t$が，${\displaystyle \frac{1}{3}}<t<{\displaystyle \frac{2}{3}}$の範囲に$2$つ存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

(1)　和$A_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^{k-1}$$=1+(-1)+\cdots +{(-1)}^{n-1}$を求めよ．

(2)　和$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^{k-1}k$$=1+(-1)2+\cdots +{(-1)}^{n-1}n$を求めよ．

(3)　和$C_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$$={\displaystyle \frac{1}{n}}(S_1+S_2+\cdots +S_n)$を求めよ．

(1)　$f(x)$の定義域を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$の解を求めよ．

(3)　$f(x)$の最小値が$-2\log {\displaystyle \frac{3}{2}}$となることを示せ．

(1)　${\displaystyle \frac{n+5}{n+2}}\leqq 2$を示せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}xf(x)\mathit{dx}\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}{({\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx})}^2$を示せ．

(3)　(2)不等式において，等号が成立するときの$a$と$n$の値を求めよ．

(1)　方程式$3x-2y=1$の整数解$(x,y)$を一つ求めよ．

(2)　方程式$3x-2y=1$のすべての整数解$(x,y)$を整数$m$を用いて表せ．

(3)　$z^2-z$が$6$で割り切れるようなすべての奇数$z$を整数$n$を用いて表せ．

(1)　点${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

(2)　$S_n={\displaystyle \frac{7}{6\cdot 8^n}}$となることを示せ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{S_1}}+{\displaystyle \frac{1}{S_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{S_n}}\geqq {\displaystyle \frac{48}{49}}\cdot {10}^{15}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

(1)　線分$\mathrm{CD}$の長さを$\theta$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{DE}$の長さを$\alpha$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　長方形$\mathrm{CDEF}$の面積が

${\displaystyle \frac{1}{2\cos \alpha }}\cos (2\theta -\alpha )-{\displaystyle \frac{\cos \alpha }{2\sin \alpha }}$

と表されることを示せ．

(3)　$\alpha$を固定したまま$\theta$を$0<\theta <\alpha$の範囲で動かすとき，(2)の面積が最大になるような$\theta$の値とそのときの面積を$\alpha$を用いて表せ．