2023　広島大学　前期

【１】　箱の中に$1$から$N$までの番号が一つずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．ただし，$N$は$4$以上の自然数である．「この箱からカードを$1$枚取り出し，書かれた番号を見てもとに戻す」という試行を考える．この試行を$4$回繰り返し，カードに書かれた番号を順に$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z\text{，}$$W$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$X=Y=Z=W$となる確率を求めよ．

(2)　$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z\text{，}$$W$が四つの異なる番号からなる確率を求めよ．

(3)　$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z\text{，}$$W$のうち三つが同じ番号で残り一つが他と異なる番号である確率を求めよ．

(4)　$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z\text{，}$$W$が三つの異なる番号からなる確率を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$$(3,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1)$を考える．$\alpha \text{，}$$\beta$を実数とし，点$\mathrm{P}$$(\alpha ,\beta )$は直線$\mathrm{OA}$上にも直線$\mathrm{OB}$上にもないとする．直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を，$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{QR}$が交点$\mathrm{S}$をもつための条件を，$\alpha \text{，}$$\beta$のうちの必要なものを用いて表せ．さらに，このときの交点$\mathrm{S}$の座標を，$\alpha \text{，}$$\beta$のうちの必要なものを用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{QR}$が交点$\mathrm{T}$をもつための条件を，$\alpha \text{，}$$\beta$のうちの必要なものを用いて表せ．さらに，このときの交点$\mathrm{T}$の座標を，$\alpha \text{，}$$\beta$のうちの必要なものを用いて表せ．

(4)　$\alpha \text{，}$$\beta$は(2)と(3)の両方の条件を満たすとし，$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$は(2)，(3)で定めた点であるとする．このとき，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BS}$が垂直となり，直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{AT}$が垂直となる$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

【３】　空間内の$6$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$は$1$辺の長さが$1$の正八面体の頂点であり，四角形$\mathrm{ABCD}$は正方形であるとする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e}\text{，}$$\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{e}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=p\overrightarrow{b}+q\overrightarrow{d}+r\overrightarrow{e}$を満たす実数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$の値を求めよ．

(3)　辺$\mathrm{BE}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．また，$0<t<1$を満たす実数$t$に対し，辺$\mathrm{CF}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{H}$とする．$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\mathrm{▵AGH}$の面積が最小となる$t$の値とそのときの$\mathrm{▵AGH}$の面積を求めよ．

《編注》数学I・数学II・数学A・数学Bには(3)に次の加筆がある．

「必要ならば，$\mathrm{▵AGH}$の面積$S$について

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\left|\overrightarrow{\mathrm{AG}}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{AH}}\right|}^2-{(\overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}})}^2}$

が成り立つことを用いてよい．」

【４】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\left({\displaystyle \frac{n^6(n+1)}{{a_n}^3}}\right)}^2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．また

$b_n={\log }_2{\displaystyle \frac{a_n}{n^2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．次の問いに答えよ．必要ならば，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n{\log }_{2}n}{6^{2n}}}=0$であることを用いてよい．

(1)　$b_1\text{，}$$b_2$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$は等比数列であることを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{6^{2n}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\log }_{2}k=0$であることを示せ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{6^{2n}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\log }_2{a}_{2k}$を求めよ．

【５】　関数$f(x)=\log {\displaystyle \frac{3x+3}{x^2+3}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

(2)　$s$を定数とするとき，次の$x$についての方程式(＊)の異なる実数解の個数を調べよ．

(＊)　$f(x)=s$

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^3}{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2+3}}\mathit{dx}$の値を求めよ．

(4)　(2)の(＊)が実数解をもつ$s$に対して，(2)の(＊)の実数解のうち最大のものから最小のものを引いた差を$g(s)$とする．ただし，(2)の(＊)の実数解が一つだけであるときには$g(s)=0$とする．関数$f(x)$の最大値を$\alpha$とおくとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}g(s)\mathit{ds}$の値を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$d$を実数とし，数列$\{a_n\}$を初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$a_3=S_2=18$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$d$の値を求めよ．

(2)　$S_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{S_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とし，数列$\{U_n\}$を

$U_n=T_n-4S_n+5a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．$U_n$が最小となるときの$n$の値をすべて求め，さらにそのときの$U_n$の値を求めよ．

(4)　(3)で定めた数列$\{U_n\}$の初項から第$7$項までの和を$V$とする．$c$を実数とし，関数$f(x)=3x^2+cx+36$を考える．定積分${\displaystyle {\int }_0^c}f(x)\mathit{dx}$が$V$に等しいとき，$c$の値を求めよ．

【４】　$a<0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0$とし，座標平面上の二つの放物線

$C_1\text{：}y=ax(x-2)\text{，}$$C_2\text{：}y=b{(x+c)}^2$

を考える．放物線$C_1$上の点$(2,0)$における接線の傾きは$-2$である．放物線$C_1$と放物線$C_2$の共有点が$1$点のみであるとし，その共有点の$x$座標を$d$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$b\text{，}$$d$を$c$を用いて表せ．

(3)　放物線$C_1$と$x$軸で囲まれた部分を$A$とし，不等式$0\leqq x\leqq d$の表す領域を$B$とする．$A$と$B$の共通部分の面積$S$を$c$を用いて表せ．

(4)　放物線$C_2\text{，}$$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$T$を$c$を用いて表せ．

(5)　(3)の$S$と(4)の$T$が$8S=15T$を満たすとき，$c$の値を求めよ．