2023　広島大学　後期数学科

【１】　$n$を$4$以上の自然数とし，硬貨を$n$回投げる．このとき，

$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$

に対し，$k$回目に表が出れば$X_k=0$とし，$k$回目に裏が出れば$X_k=1$とする．また，$Y_1\text{，}$$Y_2\text{，}$$Y_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$Y_n$を

$Y_1=X_1\text{，}$$Y_{k+1}=X_{k+1}+2Y_k$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$

により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　次の等式を示せ．

$Y_k={\displaystyle \sum _{m=1}^k}{2}^{k-m}{X}_m$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

(2)　$Y_n=1$となる確率を求めよ．

(3)　$Y_n=2^{n-1}$となる確率を求めよ．

【２】　座標平面上の曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{（}x>0\text{）}$を考える．曲線$C$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は，次の条件(＊)を満たすように動く．

(＊)　$\{\begin{array}{l}\text{点}\mathrm{Q}\text{の}x\text{座標は点}\mathrm{P}\text{の}x\text{座標より大きく，}\\ \text{かつ点}\mathrm{P}\text{における}C\text{の接線}{l}_1\text{と点}\mathrm{Q}\text{における}\\ C\text{の接線}{l}_2\text{のなす角は}45\mathrm{°}\text{である．}\end{array}$

点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p\text{，}$点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$q$を$p$を用いて表せ．

(2)　$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{R}$$(r,s)$とする．$r\text{，}$$s$を$p$を用いて表せ．

(3)　(2)で定めた$r\text{，}$$s$に対し，$s^2-r^2$を計算せよ．さらに，$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が条件(＊)を満たすように動くとき，(2)で定めた点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}\sqrt{t}\sin t\mathit{dt}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

により定める．$x\geqq 0$の範囲で$f(x)$が極大となる$x$の値を，小さい方から順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}\cdots$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$k$に対し，$x_k$を求めよ．

(2)　自然数$k$に対し，次の等式を示せ．

$f(x_{k+1})-f(x_k)$$={\displaystyle {\int }_{2k\pi }^{2(2k+1)\pi }}(\sqrt{t}-\sqrt{t-\pi })\sin t\mathit{dt}$

(3)　自然数$k$に対し，$2k\pi \leqq t\leqq (2k+1)\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$\sqrt{t}-\sqrt{t-\pi }>{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2k+1}}}$

(4)　$n$を自然数とし，$0\leqq x\leqq 2(n+1)\pi$における$f(x)$の最大値を$M_n$とする．次の不等式を示せ．

$M_n>f(x_1)+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2k+1}}}$

【４】　$r$を正の実数とし，$n$を$3$以上の自然数とする．$\alpha$を絶対値が$r\text{，}$偏角が${\displaystyle \frac{\pi }{n}}$の複素数とする．複素数$z_k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$n+1\text{）}$を

$z_1=1\text{，}$$z_{k+1}={\displaystyle \frac{\alpha }{\overline{z_k}+1}}-1$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

により定める．ただし，$\overline{z_k}$は$z_k$の共役複素数を表す．以下の問いに答よ．

(1)　$z_2+1$と$z_3+1$を極形式で表せ．

(2)　$z_k+1$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$n+1\text{）}$を極形式で表せ．

(3)　複素数平面上で$z_k$が表す点を${\mathrm{P}}_k$とし，$-1$が表す点を$\mathrm{Q}$とする．$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$n$に対し，$3$点${\mathrm{P}}_k\text{，}$${\mathrm{P}}_{k+1}\text{，}$$\mathrm{Q}$を頂点とする三角形${\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_{k+1}\mathrm{Q}$の面積$S_k$を求めよ．

(4)　(3)で定めた$S_k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$に対し，$T_n$を

$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$

により定める．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めよ．

【５】　$N={853}^{20}$$\text{（}853$の$20$乗）とおく．$N$の桁数と$N$の上$2$桁の数を，それぞれ求めよ．ここで，例えば

$M=163478025$

に対し，$M$の桁数は$9$であり，$M$の上$2$桁の数は$16$である．必要であれば常用対数表を用いてよい．この常用対数表には，$1.00$から$9.99$までの数$a$の常用対数${\log }_{10}a$の値を，その小数第$5$位を四捨五入して，小数第$4$位まで載せてある．