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2023-10721-0301
2023 広島大学 後期
物理学科総合問題
易□ 並□ 難□
【1】
問1 円周率 π の値について考える.
(1) 0≦x ≦ π2 について, f⁡( x)= x-sin⁡ x の値を考察することにより sin ⁡x≦x を示せ.また,この両辺を積分することにより 2 ⁢2≦ π を示せ.ここで, 2≒ 1.41 である.
(2) 0≦x ≦ π2 について, 2 π⁢ x≦sin⁡ x を示せ.また,この両辺を積分することにより π ≦4 を示せ.
(3) 0≦x≦ π2 について, sin⁡x ≦x- x33 ⁢π を示せ.
(4) ここまでの結果を用いて 3 ≦π を示せ.
2023-10721-0302
問2 z1= 1 , z2= cos⁡ 2⁢π N+i ⁢sin⁡ 2 ⁢πN で,自然数 n に対し漸化式
zn+ 2-2 ⁢zn +1+ zn- Ω2⁢ zn= 0 ⋯ (*)
を満たす数列 { zn } について考える.ここで, i は虚数単位, N は 2 以上の自然数, Ω=cos ⁡ 2⁢π N+i ⁢sin⁡ 2 ⁢πN -1 である.
(1) z3 , z4 を求めよ.ただし,適当な r n≧0 と 0 ≦θn <2⁢ π ( n=3 , 4 ) を用いて,極形式 z n=r n⁡( cos⁡θ n+i⁢ sin⁡θ n) の形で表せ.
(2) 自然数 n に対して z n を極形式の形で求め,それが漸化式(*)を満たすことを示せ.
(3) 複素平面上において z 1 , z2 , ⋯ , zN を順につないだ線分の長さの合計を L N とする. LN および limN→ ∞L N を求めよ.