2023　広島大学　総合型選抜情報科学部小論文

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　実数$a$に対して$3$次方程式$x^3-6x^2+(a+9)x-3a=0$が$2$重解を持つときの$a$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　${\log }_x(x^2-4x+1)\geqq 2$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$3x+y\leqq 18\text{，}$$3x+5y\leqq 30$を満たす領域を$D$とする．このとき，以下の(ⅰ)，(ⅱ)の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$2x+3y$の最大値およびそのときの点$(x,y)$を求めよ．

(ⅱ)　$a$を実数とする．点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$y-{(x-a)}^2$の最大値を$a$を用いて表せ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　以下の(ⅰ)，(ⅱ)の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+5$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　$b_1=5\text{，}$$b_{n+1}=10b_n+5^{n+2}$によって定められる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　$n$は自然数とする．${\displaystyle \frac{2}{3}}\times 9^n+4^n$は$10$の倍数であることを，数学的帰納法によって証明せよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(3)　$\sqrt[3]{2}$は無理数であることを証明せよ．

【３】　ある高等学校の$\mathrm{A}$組，$\mathrm{B}$組の生徒が受験した数学の試験の点数に関して，受験した人数，平均値，標準偏差が以下の通りであった．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$組の点数の平方和が$92274$であった．このとき，$s_{\mathrm{A}}$を求めよ．

(2)　(1)のとき，さらに，$\mathrm{A}$組と$\mathrm{B}$組を合わせた全員の点数に関する平均値が$63$であった．このとき，$\bar{y}$を求めよ．

(3)　(1)，(2)のとき，さらに，$\mathrm{A}$組と$\mathrm{B}$組を合わせた全員の点数に関する標準偏差を求めよ．