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2023-10741-0101
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2023 山口大学 前期
理系α,文系
文系は【3】
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )= |x 2-x -2| -x-1 を考える.曲線 y =f⁡( x) 上の点 A (1, f⁡(1 )) における接線を l とする.このとき.次の問いに答えなさい.
(1) 方程式 f ⁡(x )=0 の解をすべて求めなさい.
(2) y=f⁡ (x ) の極値を調べ,そのグラフをかきなさい.
(3) 接線 l の方程式を求めなさい.
(4) 曲線 y =f⁡( x) と接線 l で囲まれた部分の面積を求めなさい.
2023-10741-0102
理系α,β共通
理系βは【1】
【2】 7 つの文字 A , A , A , D , I , M , Y すべてを 1 列に並べてできる文字列について,次の問いに答えなさい.
(1) 文字列は全部で何通りあるか求めなさい.
(2) A と D が隣り合う文字列は全部で何通りあるか求めなさい.
(3) 2 つ以上の A が隣り合う文字列は全部で何通りあるか求めなさい.
(4) 全部の文字列をアルファベット順の辞書式に並べるとき,文字列 YAMADAI は何番目の文字列か求めなさい.
2023-10741-0103
文系は【4】
【3】 ベクトル a → を a →= (2 -6 ,2+ 6 ) とし,ベクトル b → を次の 2 つの条件を満たすようにとる.
・ | b→ |= 2
・関数 f ⁡(t )=| a→ +t⁢b → | が t =-2 で最小値をとる
このとき,次の問いに答えなさい.
(1) 次の 2 つの等式が成り立つことを示しなさい.
sin⁡15⁢ ° = 6- 24 , cos⁡15⁢ ° = 6+ 24
(2) 内積 a →⋅ b→ を求めなさい.
(3) ベクトル b → を求めなさい.
2023-10741-0104
理系α
【4】 複素数 z が, 2⁢z 4+( 1-5 )⁢ z2+2 =0 を満たしているとき,次の問いに答えなさい.
(1) z10 =1 が成り立つことを示しなさい.
(2) z+z 3+z 5+z 7+z 9 の値を求めなさい.
(3) cos⁡ π5 ⁢cos⁡ 2 ⁢π5 = 14 が成り立つことを示しなさい.
2023-10741-0105
理系β
【2】 ▵ABC において, AB=7 , BC=9 , CA=8 とし,次の 3 つの条件を満たす 2 つの円 C1 , C2 を考える.
・円 C 1 は,辺 AB と辺 CA に接しており,辺 BC とは 2 点で交わらない.
・円 C 2 は,辺 AB と辺 BC に接しており,辺 CA とは 2 点で交わらない.
・円 C 1 と円 C 2 は外接している.
(1) 円 C 1 が ▵ABC の内接円であるとき,円 C 1 の半径を求めなさい.
(2) 円 C 1 と円 C 2 の半径が等しいとき,円 C 1 の半径を求めなさい.
(3) 円 C 1 の周の長さと円 C 2 の周の長さの和が最小になるとき,円 C 1 と円 C 2 の半径をそれぞれ求めなさい.
2023-10741-0106
【3】 座標平面上で,不等式
1 4⁢ x2- 2≦y≦ 0 または x 2+y 2≦4
の表す領域を D 1 とし,不等式
y>3 ⁢x かつ x2+ y2< 2
の表す領域を D 2 とし,不等式
y>- 3⁢x かつ x2+ y2 <2
の表す領域を D 3 とする.また, D2 と D 3 の和集合を X とし, D1 から X を除いた領域を Y とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) 領域 D 1 を図示しなさい.
(2) 領域 D 1 の面積を求めなさい.
(3) 領域 Y を図示しなさい.
(4) 領域 Y の面積を求めなさい.
2023-10741-0107
【4】 π=3.1415 ⋯ を円周率, e=2.7182 ⋯ を自然対数の底とし,関数 f ⁡(x )= e-x +sin⁡ x-1 を考える.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) x>0 のとき,次の不等式が成り立つことを示しなさい.
ex ⁢(1- x+ x22 - x36 ) <1
(2) x>0 のとき,次の不等式が成り立つことを示しなさい.
sin⁡x> x- x36
必要ならば, θ>0 のとき,不等式 |sin⁡ θ| <θ が成り立つことを用いてよい.
(3) 関数 f ⁡(x ) は,区間 ( π3 , π 2 ) において極大値をとることを示しなさい.
(4) 方程式 f ⁡(x )=0 は,区間 ( 0,π ) においてただ 1 つの実数解をもつことを示しなさい.
2023-10741-0108
文系
【1】 次の問いに答えなさい.
(1) 3451 と 2737 の最大公約数を d とするとき,ユークリッドの互除法を用いて d の値を求めなさい.
(2) (1)で求めた d に対して, x , y についての一次不定方程式
3451⁢x- 2737⁢y= 6⁢d
の整数解をすべて求めなさい.
(3) すべての 2023 の倍数は,整数 x , y を用いて 3451 ⁢x-2737 ⁢y と表されることを示しなさい.
2023-10741-0109
【2】 次の問いに答えなさい.
(1) x4- 6⁢x2 +25 を因数分解しなさい.
(2) 方程式 x 4-6 ⁢x2 +25=0 の 4 つの解を p , q , r , s とするとき, p3 +q3 +r3 +s3 の値を求めなさい.
(3) (2)で定めた p , q , r , s に対して, p3 ⁢q3 +p3 ⁢r3 +p3 ⁢s3 +q3 ⁢r3 +q3 ⁢s3 +r3 ⁢s3 の値を求めなさい.