2023　愛媛大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$A$が鋭角で，$\cos A={\displaystyle \frac{1}{5}}$を満たすとき，$\sin A$と$\tan A$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$0\leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x+\cos 2x<0$を解け．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤玉が$1$個と青玉が$3$個，$\mathrm{B}$には赤玉が$2$個と青玉が$2$個入っている．$\mathrm{A}$から同時に$2$個，$\mathrm{B}$から同時に$2$個の玉を取り出すとき，これら$4$個の玉のうち，赤玉が$1$個となる確率を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

を満たす実数$s\text{，}$$t$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　${\log }_{3}5\text{，}$${\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$${\log }_{9}24$を大きい順に並べよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}$$y$を正の実数とする．円柱の底面の周の長さが$x\text{，}$高さが$y$であり，$2x+y=6$を満たすとする．このとき，円柱の体積$V$を$x$を用いて表せ．また，$V$の最大値を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　数列$\{a_n\}$が$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={a_n}^2+2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たすとする．$m$を自然数とするとき，$a_{2m}$は$6$の倍数であることを示せ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(3)　正の実数$a$に関する次の命題の真偽を答えよ．また，真であるときは証明を与え，偽であるときは反例をあげよ．ただし，$\sqrt{2}$は無理数であることを用いてよい．

(ⅰ)　$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．

(ⅱ)　$a$が自然数ならば$\sqrt{a}+\sqrt{2}$は無理数である．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とする．連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq 0\\ y\leqq x(2n-x)\end{array}$

の表す領域を$D_n$とし，$D_n$に属する格子点の個数を$a_n$とする．ただし，座標平面上の点$(x,y)$において，$x\text{，}$$y$がともに整数であるとき，点$(x,y)$を格子点という．

(ⅰ)　$D_2$を図示せよ．

(ⅱ)　$a_2$を求めよ．

(ⅲ)　$k$を$0\leqq k\leqq 2n$を満たす整数とする．$D_n$と直線$x=k$の共通部分に属する格子点の個数を$k\text{，}$$n$を用いて表せ．

(ⅳ)　$a_n$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　曲線$y=2x^2-4x+6$を$C$とする．また，$p$を正の実数とし，点$\mathrm{P}$$(p,p^2)$を考える．

(ⅰ)　$2p^2-4p+6>p^2$を示せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$から曲線$C$に引いた$2$つの接線のうち，一方の接線の傾きが$0$であるとする．このとき，$p$の値を求めよ．さらに，$2$つの接線についてそれぞれの方程式を求めよ．

(ⅲ)　曲線$C$と(ⅱ)で求めた$2$つの接線とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{x+10}{x^2+7x+14}}$について，曲線$y=f(x)$上の点$(0,f(0))$における接線の方程式が$y=ax+b$であるとき，$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(2)　関数$f(x)=-x-1+\sqrt{4x+1}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，$f(x)\geqq 0$であるための必要十分条件は$0\leqq x\leqq \text{ウ}$であり，また，$f(x)$の最大値は$\text{エ}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}}(x+\tan x)\mathit{dx}=\text{オ}$であり．${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}}|x+\tan x|\mathit{dx}=\text{カ}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(4)　関数$f(x)=x\text{，}$$g(x)=2x\sin x$について，$f^{\prime }(0)=1$であり，$g^{\prime }(0)=\text{キ}$である．また，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$において，直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$とで囲まれた図形の面積は$\text{ク}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(5)　正六角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6$が与えられている．$1$個のさいころを$3$回続けて投げて，出た目を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．このとき，$3$点${\mathrm{P}}_a\text{，}$${\mathrm{P}}_b\text{，}$${\mathrm{P}}_c$が三角形を作る確率は$\text{ケ}$であり，正三角形を作る確率は$\text{コ}$である．

【５】　以下の問いに答えよ．

(3)　$i$を虚数単位とする．複素数平面において，点$z$が，$2$点$0\text{，}$$i$を結ぶ線分の垂直二等分線上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{2z-1}{iz+1}}$を満たす点$w$のえがく図形を求めよ．

【６】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とする．連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq 0\\ y\leqq x(2n-x)\end{array}$

の表す領域を$D_n$とし，$D_n$に属する格子点の個数を$a_n$とする．ただし，座標平面上の点$(x,y)$において，$x\text{，}$$y$がともに整数であるとき，点$(x,y)$を格子点という．

(ⅰ)　$D_2$を図示せよ．

(ⅱ)　$a_2$を求めよ．

(ⅲ)　$k$を$0\leqq k\leqq 2n$を満たす整数とする．$D_n$と直線$x=k$の共通部分に属する格子点の個数を$k\text{，}$$n$を用いて表せ．

(ⅳ)　$a_n$を求めよ．

(ⅴ)　直線$y=0$と曲線$y=x(2n-x)$とで囲まれた図形の面積を$b_n$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}$を求めよ．

【６】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\alpha$を$0<\alpha <\pi$を満たす実数とする．また，$\theta$を$0\leqq \theta \leqq \alpha$を満たす実数とする．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，単位円を考える．単位円の周上に点$\mathrm{A}$をとる．さらに，$\mathrm{O}$を中心として，時計の針の回転と逆の向きに，

$\mathrm{A}$を${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転した点を$\mathrm{B}\text{，}$

$\mathrm{A}$を$\alpha$だけ回転した点を$\mathrm{C}\text{，}$

$\mathrm{A}$を$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{P}\text{，}$

$\mathrm{A}$を$\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$

とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$とする．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．

(ⅱ)　内積$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{q}$を$\alpha \text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　実数$s\text{，}$$t$を用いて，$\overrightarrow{c}=s\overrightarrow{p}+t\overrightarrow{q}$と表すとき，$t$を$\alpha \text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(ⅳ)　(ⅲ)で求めた$t$を用いて，$\overrightarrow{r}=t\overrightarrow{q}$とおく．実数$u\text{，}$$v$を用いて，$\overrightarrow{r}=u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}$と表すとき，$u$を$\alpha \text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(ⅴ)　(ⅳ)で求めた$u$を用いて，$\overrightarrow{d}=u\overrightarrow{a}$とおく．$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，$\overrightarrow{d}$の大きさ$\left|\overrightarrow{d}\right|$の最大値を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育（学校教育教員養成課程数I・数II・数A・数B受験者）工（社会デザインコース），農学部　【１】，【２】，【３】

教育（学校教育教員養成課程数I・数II・数III・数A・数B受験者）学部　【２】，【３】，【４】

理，工（環境建設工学科社会デザインコース除く），医（医学科）学部　【４】，【５】，【６】