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2023-10801-0201
2023 愛媛大学 後期
理,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数を,解答用紙の指定のところに記入せよ.
(1) a0= ∫ 01 e2⁢ x⁢ dx , an= ∫ 01 xn⁢ e2⁢ x⁢ dx ( n=1 , 2 , 3 , ⋯ ) とおくとき, a0 = ア であり, 2⁢a n+n ⁢an -1 = イ ( n=1 , 2 , 3 , ⋯ ) である.
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(2) 関数 f ⁡(x )= x を考える.曲線 y =f⁡( x) 上の 3 点 A (1 ,f⁡( 1) ), B (4, f⁡( 4) ), P (t, f⁡(t ) ) ( 1<t< 4 ) について,直線 AB の傾きは ウ であり, ▵ABP の面積が最大となるとき, t= エ である.
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(3) a , b を正の実数とする.関数
f⁡( x)= { a⁢x +2⁢ ea⁢x ( x<0 ) sin⁡ xa +b ( x≧0 )
が x =0 で微分可能であるとき, a= オ , b= カ である.
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(4) t を媒介変数として x =e- t⁢cos ⁡t , y=e -t ⁢sin⁡t ( 0≦t≦ 2⁢π ) で表される曲線 C について, t=π に対応する点における接線の傾きは キ であり, C の長さは ク である.
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(5) 1 から 7 までの番号が 1 つずつ書かれた 7 枚のカードの中から 1 枚のカードを引き,書かれた番号を調べてもとに戻す.この試行を 3 回繰り返し, 1 回目, 2 回目, 3 回目に引いたカードの番号を順に a , b , c とする.このとき, a<b< c となる確率は ケ であり, a≦b≦ c となる確率は コ である.
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【2】 以下の問いに答えよ.
(1) 1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC において,辺 OC , BA , OA , BC を 1 :2 に内分する点をそれぞれ M , N , P , Q とおくとき,内積 MN→⋅ PQ→ を求めよ.
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(2) n を整数とし, z を 0 でない複素数とする. z+ 1z が実数であるとき, zn + 1zn が実数であることを示せ.
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(3) 関数 f ⁡(x )=- 2⁢3 ⁢x+2 ⁢sin⁡2 ⁢x+1 ( 0≦x≦ π ) を考える.
(ⅰ) y=f⁡ (x ) の最大値と最小値を求めよ.
(ⅱ) k を実数とする. 0≦x≦ π において方程式 f ⁡(x )=k が異なる 2 つの実数解をもつとき, k のとり得る値の範囲を求めよ.
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【3】 t を 0 <t<4 を満たす実数とする.座標平面上において,中心が点 T (1, t) , 半径が 1 の円を C とする. 2 点 O (0, 0) , A (0, 4) から C に引いた接線をそれぞれ l , m とおく.ただし, l , m は y 軸ではないとする.
以下の問いに答えよ.
(1) C の方程式を t を用いて表せ.
(2) l の方程式を t を用いて表せ.
(3) m の方程式を t を用いて表せ.
(4) l と m が交点を持ち,その交点の x 座標が正であるとき, t のとり得る値の範囲を求めよ.
(5) t の値が(4)の範囲にあるとき, l と m の交点を P とおく. ▵OAP の面積の最小値を求めよ.