2023　九州大学　前期MathJax

2023-10842-0102

入試の軌跡　数学さんの解答6行(PDF)へ

2023　九州大学　前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

易□　並□　難□

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　複素数平面上の $▵ABC$ の頂点を表す複素数をそれぞれ $α ，$ $β ，$ $γ$ とする．

${(α - β)}^{4} + {(β - γ)}^{4} + {(γ - α)}^{4} = 0$

が成り立つとき， $▵ABC$ はどのような三角形になるか答えよ．

2023-10842-0103

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF)へ

2023　九州大学　前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

易□　並□　難□

【２】　 $α$ を実数とする．数列 ${a_{n}}$ が

$a_{1} = α ，$ $a_{n + 1} = | a_{n} - 1 | + a_{n} - 1$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

で定められるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $α ≦ 1$ のとき，数列 ${a_{n}}$ の収束，発散を調べよ．

(2)　 $α > 2$ のとき，数列 ${a_{n}}$ の収束，発散を調べよ．

(3)　 $1 < α < \frac{3}{2}$ のとき，数列 ${a_{n}}$ の収束，発散を調べよ．

(4)　 $\frac{3}{2} ≦ α < 2$ のとき，数列 ${a_{n}}$ の収束，発散を調べよ．

2023-10842-0104

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF)へ

2023　九州大学　前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

文系【３】の類題

易□　並□　難□

【３】　点 $O$ を原点とする座標平面上の $\vec{0}$ でない $2$ つのベクトル

$\vec{m} = (a, c) ，$ $\vec{n} = (b, d)$

に対して， $D = a d - b c$ とおく．座標平面上のベクトル $\vec{q}$ に対して，次の条件を考える．

条件Ⅰ　 $r \vec{m} + s \vec{n} = \vec{q}$ を満たす実数 $r ，$ $s$ が存在する．

条件Ⅱ　 $r \vec{m} + s \vec{n} = \vec{q}$ を満たす整数 $r ，$ $s$ が存在する．

以下の問いに答えよ．

(1)　条件Ⅰがすべての $q$ に対して成り立つとする． $D \neq 0$ であることを示せ．

　以下， $D \neq 0$ であるとする．

(2)　座標平面上のベクトル $\vec{v} ，$ $\vec{w}$ で

$\vec{m} \cdot \vec{v} = \vec{n} \cdot \vec{w} = 1 ，$ $\vec{m} \cdot \vec{w} = \vec{n} \cdot \vec{v} = 0$

を満たすものを求めよ．

(3)　さらに $a ，$ $b ，$ $c ，$ $d$ が整数であるとし， $x$ 成分と $y$ 成分がともに整数であるすべてのベクトル $\vec{q}$ に対して条件Ⅱが成り立つとする． $D$ のとりうる値をすべて求めよ．

2023-10842-0105

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF)へ

2023　九州大学　前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

易□　並□　難□

【４】　以下の文章を読んで後の問いに答えよ．

　三角関数 $\cos x ，$ $\sin x$ については加法定理が成立するが，逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか．実数全体を定義域とする実数値関数 $f (x) ，$ $g (x)$ が以下の条件を満たすとする．

(A)　すべての $x ，$ $y$ について $f (x + y) = f (x) f (y) - g (x) g (y)$

(B)　すべての $x ，$ $y$ について $g (x + y) = f (x) g (y) + g (x) f (y)$

(D)　 $f (x) ，$ $g (x)$ は $x = 0$ で微分可能で $f^{'} (0) = 0 ，$ $g^{'} (0) = 1$

_$①$条件(A)，(B)，(C)から $f (0) = 1 ，$ $g (0) = 0$ がわかる．以上のことから_$②$ $f (x) ，$ $g (x)$ はすべての $x$ の値で微分可能で， $f^{'} (x) = - g (x) ，$ $g^{'} (x) = f (x)$ が成立することが示される．_$③$上のことから ${f (x) + i g (x)} (\cos x - i \sin x) = 1$ であることが，実部と虚部を調べることによりわかる．ただし $i$ は虚数単位である．よって条件(A)，(B)，(C)，(D)を満たす関数は三角関数 $f (x) = \cos x ，$ $g (x) = \sin x$ であることが示される．

　さらに， $a ，$ $b$ を実数で $b \neq 0$ とする．このとき条件(D)をより一般的な

${(D)}^{'}$ 　 $f (x) ，$ $g (x)$ は $x = 0$ で微分可能で $f^{'} (0) = a ，$ $g^{'} (0) = b$

におきかえて，条件(A)，(B)，(C)， ${(D)}^{'}$ を満たす $f (x) ，$ $g (x)$ はどのような関数になるか考えてみる．この場合でも，条件(A)，(B)，(C)から $f (0) = 1 ，$ $g (0) = 0$ が上と同様にわかる．ここで

$p (x) = e^{- \frac{a}{b} x} f (\frac{x}{b}) ，$ $q (x) = e^{- \frac{a}{b} x} g (\frac{x}{b})$

とおくと，_$④$条件(A)，(B)，(C)，(D)において， $f (x)$ を $p (x)$ に， $g (x)$ を $q (x)$ におきかえた条件が満たされる．すると前半の議論により， $p (x) ，$ $q (x)$ がまず求まり，このことを用いると $f (x) = ア，$ $g (x) = イ$ が得られる．

(1)　下線部 $①$ について， $f (0) = 1 ，$ $g (0) = 0$ となることを示せ．

(2)　下線部 $②$ について， $f (x)$ がすべての $x$ の値で微分可能な関数であり， $f^{'} (x) = - g (x)$ となることを示せ．

(3)　下線部 $③$ について，下線部 $①$ ，下線部 $②$ の事実を用いることにより， ${f (x) + i g (x)} (\cos x - i \sin x) = 1$ となることを示せ．

(4)　下線部 $④$ について，条件(B)，(D)において， $f (x)$ を $p (x)$ に， $g (x)$ を $q (x)$ におきかえた条件が満たされることを示せ．つまり $p (x)$ と $q (x)$ が，

(B)　すべての $x ，$ $y$ について $q (x + y) = p (x) q (y) + q (x) p (y)$

(D)　 $p (x) ，$ $q (x)$ は $x = 0$ で微分可能で $p^{'} (0) = 0 ，$ $q^{'} (0) = 1$

を満たすことを示せ．また空欄 $ア，$ $イ$ に入る関数を求めよ．

2023-10842-0106

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF)へ

2023　九州大学　前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

易□　並□　難□

【５】　 $x, y$ 平面上の曲線 $C$ を媒介変数 $t$ を用いて次のように定める．

$x = t + 2 \sin^{2} t ，$ $y = t + \sin t$ $（ 0 < t < π ）$

以下の問いに答えよ．

(1)　曲線 $C$ に接する直線のうち $y$ 軸と平行なものがいくつあるか求めよ．

(2)　曲線 $C$ のうち $y ≦ x$ の領域にある部分と直線 $y = x$ で囲まれた図形の面積を求めよ．

2023-10842-0107

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF)へ

2023　九州大学　前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護)学部))

配点50点

易□　並□　難□

【１】　 $a$ を $0 < a < 9$ を満たす実数とする． $x, y$ 平面上の曲線 $C$ と直線 $l$ を，次のように定める．

$C ： y = | (x - 3) (x + 3) | ，$ $l ： y = a$

曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる図形のうち， $y ≧ a$ の領域にある部分の面積を $S_{1} ，$ $y ≦ a$ の領域にある部分の面積を $S_{2}$ とする． $S_{1} = S_{2}$ となる $a$ の値を求めよ．

2023-10842-0108

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF)へ

2023　九州大学　前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護)学部))

配点50点

易□　並□　難□

【２】　 $x, y$ 平面上の曲線 $C ： y = x^{3} - x$ を考える．実数 $t > 0$ に対して，曲線 $C$ 上の点 $A$ $(t, t^{3} - t)$ における接線を $l$ とする．直線 $l$ と直線 $y = - x$ の交点を $B ，$ 三角形 $OAB$ の外接円の中心を $P$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点 $B$ の座標を $t$ を用いて表せ．

(2)　 $θ = ∠OBA$ とする． $\sin^{2} θ$ を $t$ を用いて表せ．

(3)　 $f (t) = \frac{OP}{OA}$ とする． $t > 0$ のとき， $f (t)$ を最小にする $t$ の値と $f (t)$ の最小値を求めよ．

2023-10842-0109

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF)へ

2023　九州大学　前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護)学部))

配点50点

易□　並□　難□

【３】　点 $O$ を原点とする座標平面上の $\vec{0}$ でない $2$ つのベクトル

$\vec{m} = (a, c) ，$ $\vec{n} = (b, d)$

に対して， $D = a d - b c$ とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　 $\vec{m}$ と $\vec{n}$ が平行であるための必要十分条件は $D = 0$ であることを示せ．

　以下， $D \neq 0$ であるとする．

(2)　座標平面上のベクトル $\vec{v} ，$ $\vec{w}$ で

$\vec{m} \cdot \vec{v} = \vec{n} \cdot \vec{w} = 1 ，$ $\vec{m} \cdot \vec{w} = \vec{n} \cdot \vec{v} = 0$

を満たすものを求めよ．

(3)　座標平面上のベクトル $\vec{q}$ に対して

$r \vec{m} + s \vec{n} = \vec{q}$

を満たす実数 $r$ と $s$ を $\vec{q} ，$ $\vec{v} ，$ $\vec{w}$ を用いて表せ．

2023-10842-0110

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF)へ

2023　九州大学　前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護)学部))

配点50点

易□　並□　難□

【４】　 $ω$ を $x^{3} = 1$ の虚数解のうち虚部が正であるものとする．さいころを繰り返し投げて，次の規則で $4$ つの複素数 $0 ，$ $1 ，$ $ω ，$ $ω^{2}$ を並べていくことにより，複素数の列 $z_{1} ，$ $z_{2} ，$ $z_{3} ， \dots$ を定める．

・ $z_{1} = 0$ とする．

・ $z_{k}$ まで定まったとき，さいころを投げて，出た目を $t$ とする．このとき $z_{k + 1}$ を以下のように定める．

∘ $z_{k} = 0$ のとき， $z_{k + 1} = ω^{t}$ とする．

∘ $z_{k} \neq 0 ，$ $t = 1 ，$ $2$ のとき， $z_{k + 1} = 0$ とする．

∘ $z_{k} \neq 0 ，$ $t = 3$ のとき， $z_{k + 1} = ω z_{k}$ とする．

∘ $z_{k} \neq 0 ，$ $t = 4$ のとき， $z_{k + 1} = \overline{ω z_{k}}$ とする．

∘ $z_{k} \neq 0 ，$ $t = 5$ のとき， $z_{k + 1} = z_{k}$ とする．

∘ $z_{k} \neq 0 ，$ $t = 6$ のとき， $z_{k + 1} = \overline{z_{k}}$ とする．

ここで複素数 $z$ に対し， $\overline{z}$ は $z$ と共役な複素数を表す．以下の問いに答えよ．

(1)　 $ω^{2} = \overline{ω}$ となることを示せ．

(2)　 $z_{n} = 0$ となる確率を $n$ の式で表せ．

(3)　 $z_{3} = 1 ，$ $z_{3} = ω ，$ $z_{3} = ω^{2}$ となる確率をそれぞれ求めよ．

(4)　 $z_{n} = 1$ となる確率を $n$ の式で表せ．

2023 九州大学 前期MathJax

2023　九州大学　前期MathJax