2023　佐賀大学　前期

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$とおく．これらは

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{3}$

および

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

を満たすとする．頂点$\mathrm{O}$から$\mathrm{▵ABC}$を含む平面に垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．次の問に答えよ．

(1)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　実数$s\text{，}$$t$により$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表されるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　(2)の$s\text{，}$$t$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【２】　$0$から$3$までの数字を$1$つずつ書いた$4$枚のカードがある．この中から$1$枚のカードを取り出し，数字を確認してからもとへもどす．これを$n$回くり返したとき，取り出されたカードの数字の総和を$S_n$で表す．$S_n$が$3$で割り切れる確率を$p_n$とし，$S_n$を$3$で割ると$1$余る確率を$q_n$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$p_2$および$q_2$の値を求めよ．

(2)　$p_{n+1}$および$q_{n+1}$を$p_n\text{，}$$q_n$を用いて表せ．

(3)　$p_n$および$q_n$を$n$を用いて表せ．また，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は実数とし，$x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$を$f(x)$とおく．$4$次方程式$f(x)=0$が$2$つの実数解$\sqrt{6}\text{，}$$-\sqrt{6}$および$2$つの虚数解$\alpha \text{，}$$\beta$を持つとする．次の問に答えよ．

(1)　整式$f(x)$は$x^2-6$で割り切れることを示せ．

(2)　$\alpha +\beta \text{，}$$\alpha \beta \text{，}$$c\text{，}$$d$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　複素数平面上において点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(-\sqrt{6})$が同一直線上にあるとき，$a$の値を求めよ．

(4)　(3)において，さらに点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{D}(\sqrt{6})$が正三角形の$3$つの頂点となるとき，$b$の値を求めよ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　等式${(\tan \theta )}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}$を示せ．また，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}\mathit{d\theta }$の値を求めよ．

(2)　等式

${\displaystyle \frac{\cos \theta }{1+\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }}={\displaystyle \frac{2}{\cos \theta }}$

を示せ．また，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}\mathit{d\theta }$の値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^3\theta }}\mathit{d\theta }$の値を求めよ．

【２】　$0$から$3$までの数字を$1$つずつ書いた$4$枚のカードがある．この中から$1$枚のカードを取り出し，数字を確認してからもとへもどす．これを$n$回くり返したとき，取り出されたカードの数字の総和を$S_n$で表す．$S_n$が$3$で割り切れる確率を$p_n$とし，$S_n$を$3$で割ると$1$余る確率を$q_n$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$p_{n+1}$および$q_{n+1}$を$p_n\text{，}$$q_n$を用いて表せ．

(2)　$p_n$および$q_n$を$n$を用いて表せ．また，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は実数とし，$x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$を$f(x)$とおく．$4$次方程式$f(x)=0$が$2$つの実数解$\sqrt{6}\text{，}$$-\sqrt{6}$および$2$つの虚数解$\alpha \text{，}$$\beta$を持つとする．次の問に答えよ．

(1)　$\alpha +\beta \text{，}$$\alpha \beta \text{，}$$c\text{，}$$d$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　複素数平面上において点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(-\sqrt{6})$が同一直線上にあるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　(2)において，さらに点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{D}(\sqrt{6})$が正三角形の$3$つの頂点となるとき，$b$の値を求めよ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　等式${(\tan \theta )}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}$を示せ．また，定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2\theta }}\mathit{d\theta }$の値を求めよ．

(2)　等式

${\displaystyle \frac{\cos \theta }{1+\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }}={\displaystyle \frac{2}{\cos \theta }}$

を示せ．また，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}\mathit{d\theta }$の値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^3\theta }}\mathit{d\theta }$の値を求めよ．

【１】　$a>0\text{，}$$b>0$とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2a,a)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,2b)$を頂点とする三角形の重心は直線$y=-2x+4$上にあるとする．$\mathrm{\angle AOB}$を$\theta$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OA}$と$x$軸のなす鋭角を$\alpha \text{，}$直線$\mathrm{OB}$と$x$軸のなす鋭角を$\beta$とおく．$\sin \alpha \text{，}$$\sin \beta$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\sin \theta$の値を求めよ．

(3)　$b$を$a$を用いて表せ．また，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(4)　$a$が(3)で求めた範囲を動くとき，$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$の最大値を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を$f(x)=x|x-7|$で定める．曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}$$(3,f(3))$における接線を$l$とする．次の問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$l$の共有点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる点の座標を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$l$で囲まれた図形の面積$S$の値を求めよ．

【４】　$0$から$3$までの数字を$1$つずつ書いた$4$枚のカードがある．この中から$1$枚のカードを取り出し，数字を確認してからもとへもどす．これを$n$回くり返したとき，取り出されたカードの数字の総和を$S_n$で表す．$S_n$が$3$で割り切れる確率を$p_n$とし，$S_n$を$3$で割ると$1$余る確率を$q_n$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$p_2$および$q_2$の値を求めよ．

(2)　$p_{n+1}$および$q_{n+1}$を$p_n\text{，}$$q_n$を用いて表せ．

(3)　$p_n$および$q_n$を$n$を用いて表せ．