2023　佐賀大学　後期

【１】　$0<a<1$とし，座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,0)$を直径の両端とする円を$C$とする．円$C$上の点$\mathrm{P}$における接線は原点$\mathrm{O}$を通り，かつ$\mathrm{P}$の$y$座標は正であるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　円$C$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$の$y$座標が最大となるような$a$の値を求めよ．

【２】　$0<a<2$とする．$\mathrm{AB}=\sqrt{2-a}\text{，}$$\mathrm{AD}=\sqrt{a}\text{，}$$\mathrm{AE}=2$である直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$について，$\mathrm{\angle AFC}$を$\theta$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a=1$のとき，$\mathrm{▵AFC}$の面積$S$の値を求めよ．

(3)　$a=1$のとき，$\mathrm{▵AFC}$の内接円の半径$r$と外接円の半径$R$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．また，${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$のとき，$\tan \theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　${\displaystyle \frac{i}{2}}$と異なる複素数$z$に対して，複素数$w$を

$w={\displaystyle \frac{z-2i}{1+2iz}}$

で定める．複素数$z$および$w$の共役複素数をそれぞれ$\bar{z}\text{，}$$\bar{w}$で表すとき，次の問に答えよ．

(1)　$z=1$のとき，$w$の実部と虚部をそれぞれ求めよ．

(2)　$z$を$w$で表せ．また，$\bar{z}$を$\bar{w}$で表せ．

(3)　複素数平面上で点$z$が$\left|z\right|=1$を満たしながら動くとき，点$w$はどんな図形をえがくか．

【４】　$3$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)\text{，}$$h(x)$を

$f(x)=2e^{-2x}\text{，}$$g(x)=e^{-x}\text{，}$$h(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(x-t)g(t)\mathit{dt}$

で定める．次の問に答えよ．

(1)　$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値を求めよ．

(2)　$h(x)$を$x$の式で表せ．また，関数$h(x)$の極値を求めよ．

(3)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }h(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }h(x)$の値をそれぞれ求めよ．

【１】　$0<a<1$とし，座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,0)$を直径の両端とする円を$C$とする．円$C$上の点$\mathrm{P}$における接線は原点$\mathrm{O}$を通り，かつ$\mathrm{P}$の$y$座標は正であるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　円$C$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{\angle AOP}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となる$a$の値を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=x^3-x^2$について，次の問に答えよ．

(1)　$t\ne {\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．曲線$C$の点$\mathrm{P}$$(t,t^3-t^2)$における接線を$l$とするとき，直線$l$の方程式を求めよ．また，曲線$C$と直線$l$の共有点のうち$\mathrm{P}$と異なる点の$x$座標を$u$とおくとき，$u$を$t$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$は次の(ⅰ)，(ⅱ)を満たしているとする．

(ⅰ)　$a_1=1$

(ⅱ)　曲線$C$の点${\mathrm{P}}_n$$(a_n,{a_n}^3-{a_n}^2)$における接線を$l_n$とするとき，曲線$C$と直線$l_n$の共有点のうち${\mathrm{P}}_n$と異なる点の$x$座標が$a_{n+1}$である．

このとき，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．さらに，一般項$a_n$を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数とし，$x^3+a{x}^2+bx+c$を$f(x)$とおく．関数$f(x)$は$x=2$で極値をとり，整式$f(x)$は$f(1-i)=0$を満たすとする．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}|f^{\prime }(x)|\mathit{dx}$の値を求めよ．