2023　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$3$辺の長さがそれぞれ$2\text{，}$$4\text{，}$$2\sqrt{5}$である三角形に内接する円の面積を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$\theta =\sqrt{5}+\sqrt{7}$とする．有理数を係数とする$4$次の整式$f(x)$のうち，$f(\theta )=0$を満たし$4$次の項の係数が$1$となるものを$1$つ答えよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$1$個のサイコロを$3$回投げるとき，出る目の和が$7$以上である確率を求めよ．

【２】　座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,5k)$および放物線

$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}$

を考える．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)　点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$からの距離の比が$3:2$の点をすべて動くとき，$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(2)　(1)の軌跡と放物線$C$の共有点の個数がちょうど$2$になるような$k$の値の範囲を求めよ．

【３−１】　自然数$n$に対して，$a_n\text{，}$$b_n$を

${\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^n=a_n+b_n\sqrt{5}$

を満たす有理数とする．ただし，$4$つの有理数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$が

$a+b\sqrt{5}=c+d\sqrt{5}$

を満たせば$a=c$かつ$b=d$が成り立つので，$a_n\text{，}$$b_n$は各自然数$n$に対し$1$通りに定まることに注意する．

(1)　$n$が$3$の倍数であるとき，$a_n\text{，}$$b_n$がともに整数となることを示せ．

(2)　自然数$n$が$3$の倍数であるとき，$a_n\text{，}$$b_n$のどちらか一方が偶数で他方が奇数となることを示せ．

(3)　$a_n\text{，}$$b_n$がともに整数となるのは$n$が$3$の倍数のときに限ることを示せ．

【３-２】　空間に異なる$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，次の条件が満たされているとする．

・三角形$\mathrm{PAB}$は$1$辺の長さが$1$の正三角形である．

・線分$\mathrm{PA}$と線分$\mathrm{PC}$は正六角形の隣り合う$2$辺である．この正六角形を$\alpha$とおく．

・線分$\mathrm{PB}$と線分$\mathrm{PC}$は$\alpha$とは異なる正六角形の隣り合う$2$辺である．この正六角形を$\beta$とおく．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}$および$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}$を求めよ．

　さらに，次の条件を満たすような異なる$3$点$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を考える．

・$\mathrm{H}$は線分$\mathrm{PA}$上にある．

・$\mathrm{Q}$は$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$によって定まる平面を直線$\mathrm{PA}$で$2$分割した領域の$\mathrm{B}$を含む側にあり，線分$\mathrm{HQ}$は長さ$1$で$\mathrm{PA}$に垂直である．

・$\mathrm{R}$は正六角形$\alpha$の内部にあり，線分$\mathrm{HR}$は長さ$1$で$\mathrm{PA}$に垂直である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{HQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いてあらわせ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{HQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HR}}$のなす角を$\theta$とするとき$\cos \theta$を求めよ．

【３-３】　袋に赤玉$4$個と白玉$2$個が入っている．無作為に玉を$1$個取り出して，それが赤玉であれば白玉と，白玉であれば赤玉と取り換えて袋に戻すという操作を考える．この操作を$2$回繰り返したあと袋にある赤玉の数を$X$とし，一方，$3$回繰り返したあと袋にある白玉の数を$Y$とする．

(1)　確率$P(X=4)$を求めよ．

(2)　確率変数$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．

(3)　確率変数$Y$の期待値$E(Y)$を求めよ．

【４】　$x>0$で定義された曲線

$C\text{：}y={(\log x)}^2$

を考える．

(1)　$a$を正の実数とするとき，点$\mathrm{P}$$(a,{(\log a)}^2)$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ．

(2)　$a>1$のとき，接線$L$と$x$軸の交点の$x$座標が最大となる場合の$a$の値$a_0$を求めよ．

(3)　$a$の値が(2)の$a_0$に等しいとき，直線$L$の$y\geqq 0$の部分と曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる図形の体積を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　$z_1\text{，}$$z_2$を異なる$2$つの複素数とするとき，${\displaystyle \frac{1+i{z}_1}{z_1+i}}\ne {\displaystyle \frac{1+i{z}_2}{z_2+i}}$となることを示せ．ただし，$z_1\ne -i\text{，}$$z_2\ne -i$とする．

(2)　$w$を$i$以外の複素数とするとき，${\displaystyle \frac{1+iz}{z+i}}=w$かつ$z\ne -i$を満たす複素数$z$が存在することを示せ．

(3)　$-i$以外の複素数$z$について，$z$の虚部が$b$となることと，$w={\displaystyle \frac{1+iz}{1+i}}$が$|w-{\displaystyle \frac{i}{2}}|={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすことが同値になるように実数$b$を定めよ．

【２−２】　実数全体で定義された関数$f(x)=2^x-1$を考える．

(1)　関数$y=f(x)$の逆関数$y=f^{-1}(x)$を求めよ．またその定義域を求めよ．

(2)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=f^{-1}(x)$の共有点の座標をすべて求めよ．

(3)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=f^{-1}(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．