2023　鹿児島大学　AO理学部MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{0}$でない$2$つの平面ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が垂直であるとする．このとき平面ベクトル$\overrightarrow{x}$に対して，次が成立することを示せ．

$\overrightarrow{x}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{a}}{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}}\overrightarrow{b}$

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　自然数$n$について，$n$の正の約数のうち$n$を除いたものの和が$n$になるとき，$n$は完全数であるという．例えば$6$の正の約数は$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$6$で，$1+2+3=6$なので，$6$は完全数である．自然数$k$について$2^k-1$が素数であれば，$2^{k-1}(2^k-1)$は完全数であることを示せ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　実数$x\text{，}$$y$が${({\log }_{2}x)}^2+{({\log }_{2}y)}^2=8$を満たすとき，$xy$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$c_n\ne 0$である整式

$f(x)=c_n{x}^n+c_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_0$

に対して，

$f^{*}(x)=c_0{x}^n+c_1{x}^{n-1}+\cdots +c_{n-1}x+c_n$

という整式を$f(x)$の反転式と呼ぶことにする．また，この問題では$0$という整式は考えないことにする．

(1)　整式$f(x)=c_n{x}_n+c_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_0$$\text{（}{c}_n\ne 0\text{）}$に対して，$f^{*}(x)=x^{n}f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$が成立することを証明せよ．

(2)　$f(x)$を整式とする．$0$でない実数$\alpha$が方程式$f(x)=0$の解ならば，${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$は方程式$f^{*}(x)=0$の解であることを証明せよ．

(3)　$3x^2+2x+1$の反転式は$x^2+2x+3$で，$x^2+2x+3$の反転式は$3x^2+2x+1$である．このように反転式の反転式は元の式に戻ることが多いが，そうでないこともある．反転式の反転式が元の式に戻らない例を，具体的に$1$つあげよ．

(4)　$f(x)\text{，}$$g(x)\text{，}$$h(x)$という$3$つの整式に$h(x)=f(x)g(x)$という関係が成立するとき，$h^{*}(x)=f^{*}(x)g^{*}(x)$となることを証明せよ．

【３】　$4$個のさいころを同時に$1$回投げる試行を考える．$4$個のさいころの出た目の積を$X$とする．

(1)　$X$が偶数である確率を求めよ．

(2)　$2$または$6$の目が出たさいころの個数が$1$で，なおかつ，$4$の目が出たさいころの個数が$0$である確率を求めよ．

(3)　$X$が$4$の倍数である確率を求めよ．

【４】　定数$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．関数

$y={\displaystyle \frac{x\sin \theta +\cos \theta }{x\cos \theta -\sin \theta }}$

のグラフを$C$とする．

(1)　上の関数を$y={\displaystyle \frac{k}{x-p}}+q$の形で表せ．ただし，$p\text{，}$$q\text{，}$$k$は定数である．

(2)　曲線$C$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．曲線$C$の，点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．

(3)　$t={\sin }^2\theta$とおく．曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を，$t$を用いて表せ．

【５】　正の実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$について，${\displaystyle \frac{1}{z}}$が${\displaystyle \frac{1}{x}}$と${\displaystyle \frac{1}{y}}$の相加平均となるとき，$z$を$x$と$y$の調和平均という．$a>b$を満たす正の実数$a\text{，}$$b$を考える．数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は次を満たしているとする．

・$a_1=a\text{，}$$b_1=b$

・$a_{n+1}$は$a_n$と$b_n$の相加平均で，$b_{n+1}$は$a_n$と$b_n$の調和平均である．つまり，

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+b_n)\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{b_{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{a_n}}+{\displaystyle \frac{1}{b_n}})$

このとき数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$はどちらも$a$と$b$の相乗平均$\sqrt{ab}$に収束する．このことを確かめよう．

(1)　$a_n{b}_n=ab$となることを示せ．

(2)　次の等式を示せ．

$a_{n+1}-\sqrt{ab}={\displaystyle \frac{{(a_n-\sqrt{ab})}^2}{2a_n}}$

(3)　次の不等式を示せ．

$|a_{n+1}-\sqrt{ab}|<{\displaystyle \frac{1}{2}}|a_n-\sqrt{ab}|$

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\sqrt{ab}\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\sqrt{ab}$を示せ．