2023　福島県立医科大学　前期

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　$a=\sqrt{2-\sqrt{3}}\text{，}$$b=\sqrt{2+\sqrt{3}}$について，$b^7-a^7=c\sqrt{d}$となる$2$以上の整数$c\text{，}$$d$を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(2)　自然数$n$について，$3^n$を$5$で割ったときの余りを$r_n$とする．すべての自然数$n$について，等式$r_{n+m}=r_n$を満たす最小の自然数$m$を求めよ．また，${2023}^{2023}$を$5$で割ったときの余りを求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(3)　右表は，$100$人の生徒を$2$つのクラス$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$に分けて行った試験の結果である．$100$人全員の点数についての平均点が$60$点，分散が$87$であるとき，$\mathrm{X}$クラスの平均点$\bar{x}$の値を求めよ．ただし，$\bar{x}<\bar{y}$である．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(4)　関数$f(x)=e^{\sqrt{3}x}\cos 3x$の第$50$次導関数を$f^{(50)}(x)$とする．三角関数の合成を考えることにより方程式$f^{(50)}(x)=0$の$0\leqq x\leqq 2\pi$における解をすべて求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$は実数の定数とする．$x$の多項式$f(x)=a{x}^4-(a+1)b{x}^3$$+(a^2+b^2+1)x^2$$-(a+1)bx+a$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$a=\alpha \beta \text{，}$$b=\alpha +\beta$を満たす複素数$\alpha \text{，}$$\beta$を$a\text{，}$$b$で表せ．

(2)　(1)の$\alpha \text{，}$$\beta$について，$f(\alpha )$と$f(\beta )$の値を求めよ．

(3)　$0$でない複素数$z$が$f(z)=0$を満たすとき，$f\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)$の値を求めよ．

(4)　方程式$f(x)=0$が異なる$4$つの実数解をもつための$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

【３】　辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さがそれぞれ$6\text{，}$$5\text{，}$$4$である$\mathrm{▵OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<t<1$である．また，点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$\theta =\mathrm{\angle AOB}$について，$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$をそれぞれ$t\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　$\mathrm{▵APQ}$の面積と$\mathrm{▵BPR}$の面積の和を$S(t)$とする．$0<t<1$における$S(t)$の最小値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=(x+3)\sqrt{2-x}$について以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフを描け．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　方程式$f(x)=f(-x)$を解け．

(4)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【１】　以下の問いについて，答えだけを書け．

(1)　楕円$2x^2+3y^2=9$と直線$y=-2x+k$が異なる$2$点で交わるような定数$k$の値の範囲を求めよ．

【１】　以下の問いについて，答えだけを書け．

(2)　$f(1)=0\text{，}$$f(0)=f(-1)=-1\text{，}$$f^{\prime }(-1)={\displaystyle \frac{1}{6}}$を満たす$3$次関数$f(x)$を求めよ．

【１】　以下の問いについて，答えだけを書け．

(3)　方程式$4{\sin }^{2}x$$+2(1+\sqrt{2})\cos x$$=4+\sqrt{2}$の$0\leqq x\leqq \pi$における$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\tan (\beta -\alpha )$の値を求めよ．

【１】　以下の問いについて，答えだけを書け．

(4)　$2$直線$y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}\text{，}$$y=-x+4$のなす鋭角$\theta$を求めよ．

【１】　以下の問いについて，答えだけを書け．

(6)　$a_{10}>0\text{，}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{15}}{a}_n=0\text{，}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{15}}{a_n}^2=70$を満たす等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　以下の問いについて，答えだけを書け．

(7)　極限値$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin 2x}{{\log }_2(x+2)-1}}$を求めよ．

【２】　辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さがそれぞれ$6\text{，}$$5\text{，}$$4$である$\mathrm{▵OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点$\mathrm{P}$から，それぞれ直線$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と，直線$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$\theta =\mathrm{\angle AOB}$について，$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$をそれぞれ$t\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　$\mathrm{▵APQ}$の面積と$\mathrm{▵BPR}$の面積の和を$S(t)$とする．$0<t<1$における$S(t)$の最小値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=(3-x)\sqrt{x+1}$について以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフを描け．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$0<x<1$のとき，$f(-x)<f(x)$であることを示せ．

(4)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．