2023　東京都立大　後期MathJax

【１】　次のように定められた数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1={\displaystyle \frac{17}{15}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+{\displaystyle \frac{1}{a_n}})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えなさい．

(1)　すべての自然数$n$に対して$a_n>1$であることを示しなさい．

(2)　$a_n={\displaystyle \frac{4^{b_n}+1}{4^{b_n}-1}}$とするとき．$b_n$を$a_n$を用いて表しなさい．

(3)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表しなさい．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}2\theta {\sin }^2\theta \mathit{d\theta }$を求めなさい．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{\theta }^2\sin \theta \mathit{d\theta }$を，必要ならば部分積分を$2$回行うことにより求めなさい．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{\sin }^3\theta \mathit{d\theta }$を求めなさい．

(4)　サイクロイド

$\{\begin{array}{l}x=\theta -\sin \theta \\ y=1-\cos \theta \end{array}$

の$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の部分と$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めなさい．

【３】　空間内の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径が$1$の球面上の$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-{\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|={\displaystyle \frac{2\sqrt{15}}{5}}\text{，}$$6\overrightarrow{\mathrm{OA}}+5\overrightarrow{\mathrm{OB}}+5\overrightarrow{\mathrm{OC}}+8\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{0}$

をみたすとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めなさい．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めなさい．

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めなさい．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めなさい．

【４】　$a$を実数とする．$0$でない複素数$z$に対し

$f(z)=z^6+4z^3+a+{\displaystyle \frac{8}{z^3}}+{\displaystyle \frac{4}{z^6}}$

と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)　$x＝z^3+{\displaystyle \frac{2}{z^3}}$とする．$f(z)$を$x$を用いて表しなさい．

(2)　$f(z)=0$をみたす$x$がただ$1$つ存在するとき，$a$の値と$x$の値を求めなさい．

(3)　(2)で求めた$a$の値に対し，$f(z)=0$をみたす$z$の値をすべて求め，極形式で表しなさい．ただし，偏角は$0$以上$2$未満とする．