2023　岐阜薬科大学　中期

【１】　$xy$平面において，連立不等式$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$(x+y-1)(x^2+y^2-2)\leqq 0$の表す領域を$D$とする．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$2x+y$の最小値と最大値を求めよ．

【２】　半径$r$の円を底面とする直円錐$C$に，半径$\sqrt{2}$の球$S$が内接している．

(1)　$C$の体積$V$を，$r$を用いて表せ．

(2)　$V$の最小値，および最小値を与える$r$の値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$t>0$のとき，不等式$1+t+{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2$$<e^t$$<1+t+{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2{e}^t$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle {\int }_x^{2x}}{\displaystyle \frac{e^t-1}{t^2}}\mathit{dt}$を求めよ．

(3)　(2)で求めた値を$c$とするとき，$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}({\displaystyle {\int }_x^{2x}}{\displaystyle \frac{e^t-1}{t^2}}\mathit{dt}-c)$を求めよ．

【４】　図のように$1$辺の長さが$1$の正方形があり，その頂点を反時計回りの順に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{P}$は，次の規則(a)，(b)，(c)にしたがって，この正方形の頂点から頂点へと移動する．

(a)最初，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に止まっている．

(b)　点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれかに止まったら，さいころを$1$回投げ，出た目に応じて次の(ⅰ)，(ⅱ)のように移動する．

(ⅰ)　$4$以下の目が出たときには，点$\mathrm{P}$は，反時計回りに$1$だけ移動して止まる．

(ⅱ)　$5$以上の目が出たときには，点$\mathrm{P}$は，反時計回りに$2$だけ移動して止まる．例えば，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$に止まっていて$5$以上の目が出たときには，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{D}$を通過して頂点$\mathrm{A}$まで移動して止まる．

(c)　点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$に止まったら，さいころは投げず，点$\mathrm{P}$の移動を終了する．

　点$\mathrm{P}$の移動が終了するまでに，さいころを投げた回数を$X\text{，}$点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$を通過した回数を$Y$とする．

(1)　$X=n$となる確率を$p_n$とする．$p_2\text{，}$$p_3\text{，}$$p_4\text{，}$$p_5\text{，}$$p_6$を求めよ．

(2)　$n$は$2$以上の整数とする．$X=3n$かつ$Y=n-1$となる確率を求めよ．

(3)　$n$は$2$以上の整数とする．$X=3n$かつ$Y=n$となる確率を求めよ．

【５】　座標空間において，$2$点$\mathrm{A}$$(0,-1,-6)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-2,-4)$を通る直線を$l$とし，$2$点$\mathrm{C}$$(1,1,2)\text{，}$$\mathrm{D}$$(2,3,1)$を通る直線を$m$とする．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$のなす角$\theta$を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の両方に垂直で，大きさが$\sqrt{3}$であるベクトルを全て求めよ．

(2)　次の条件(a)，(b)，(c)を同時に満たす点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}$の座標を求めよ．

$\text{(a) }\mathrm{L}\text{は直線}l\text{上の点である． }$$\text{(b) }\mathrm{M}\text{は直線}m\text{上の点である．}$$\text{(c) }\overrightarrow{\mathrm{LM}}\text{は，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CD}}\text{の両方に垂直である．}$

(3)　$k$は実数とし，直線$l$上に，$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=(k+1)\overrightarrow{\mathrm{AB}}$となるようにとる．このとき，四面体$\mathrm{PQMC}$の体積$V$を求めよ．