2023　静岡文化芸術大学　前期MathJax

【１】　半径$4$の円$\mathrm{O}$があり円の中心からの距離が$8$である点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{P}$から円に引いた接線の接点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{PQ}\text{，}$線分$\mathrm{PR}\text{，}$中心角の小さい側の弧$\mathrm{QR}$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}\text{，}$直線$\mathrm{BF}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AG}:\mathrm{GC}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵AGF}$の面積比を求めよ．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}|-x^3+6x^2-32|$とする．

　曲線$C\text{：}y=f(x)$と点$\mathrm{A}$$(0,10)$において，次の各問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の極値を求め，曲線$C$のグラフを描け．

(2)　点$\mathrm{A}$を通る直線$l$と曲線$C$が異なる$4$つの共有点を持つとき，直線$l$の傾き$m$の値の範囲を求めよ．

【４】　右図のような直角三角形$\mathrm{ABC}$および長方形$\mathrm{DEFG}$がある．$\mathrm{DE}⫽\mathrm{CB}$を保ちつつ，長方形$\mathrm{DEFG}$の頂点$\mathrm{E}$を点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$へ線分$\mathrm{AB}$上を移動することにより，長方形$\mathrm{DEFG}$を平行移動させる．線分$\mathrm{EF}$の直角三角形$\mathrm{ABC}$に含まれている部分の長さを$x$とするとき，直角三角形$\mathrm{ABC}$と長方形$\mathrm{DEFG}$の重なっている部分の面積が$2$以上となる$x$の範囲を求めよ．

【５】　$x$の方程式$8^{{\log }_{2}x}+1$$=9^{{\mathrm{los}}_{3}x}+5^{{\log }_{5}x}$を解け．

【６】　右図のような飲食店の照明を設計するとき，ダウンライト（点光源：点$\mathrm{A}\text{）}$の光に照らされた水平なテーブル上の点$\mathrm{P}$における水平面照度$\mathrm{Ep}(\mathrm{lx})$は，以下の式で与えられる．

※物体の厚みは無視するものとする．

$\mathrm{Ep}={\displaystyle \frac{I}{r^2}}\times \cos \theta$

$I$：ダウンライトの光度$(\mathrm{cd})$

$r$：点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{P}$までの距離$(\mathrm{m})$

$\theta$：点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{P}$への入射角$(\mathrm{°})$

$\mathrm{cd}$：カンデラ（光度の単位）

$\mathrm{lx}$：ルクス（照度の単位）

　$I=800(\mathrm{cd})\text{，}$$d=50(\mathrm{cm})\text{，}$$h=70(\mathrm{cm})\text{，}$$\theta =15\mathrm{°}$のとき，床面から天井面までの垂直距離$H(\mathrm{m})$を求めよ．また，そのときのテーブル上の点$\mathrm{P}$の水平面照度$\mathrm{Ep}(\mathrm{lx})$を求めよ．ただし解答は，$\sqrt{2}=1.41\text{，}$$\sqrt{3}=1.73$とし，四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．

【７】　$1$辺の長さが$L$の正方形の折り紙が$3$枚ある．$3$枚とも図１のように，対角線において，ある一定の同じ角度で山折りにする．それら$3$枚を組み合わせることにより，すべての面が合同である直角二等辺三角形によって構成される六面体$\mathrm{ABCDE}$を作ることができる．その六面体$\mathrm{ABCDE}$を$xyz$空間に図２で示すように以下の通り配置する．

・点$\mathrm{A}$は原点$\mathrm{O}$と一致する．

・点$\mathrm{C}$は$zx$平面上にある．

・点$\mathrm{E}$は$x$軸上にある．

　このとき，次の各問いに答えよ．

※配付した$3$枚の折り紙は，自由に利用して構わない．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を成分表示せよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$を求めよ．

(3)　$\cos \mathrm{\angle BAD}$の値を求めよ．

【８】　$3$つの数列：$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}\text{，}$$\{z_n\}$があり，そのすべての項が$0$ではない．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\{x_n\}$は等差数列であり，初項は$s$である．この$\{x_n\}$がさらに等比数列でもあるとき，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$\{y_n\}$は等差数列であり，初項は$t$である．この$\{y_n\}$の各項の逆数からなる数列も等差数列になっているとき，数列$\{y_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$\{z_n\}$は，$a\text{，}$$b$が交互に繰り返す数列$\{z_n\}=a,b,a,b,a,b,\cdots$である．ここで，条件を分けて言葉で説明しつつ$2$行にわたる表現として

$z_n=\{\begin{array}{ll}a& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ b& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}$

と記述するのは，$1$つの式で表しきれていない欠点がある．そこで，${(-1)}^n$を活用し，$1$つの式で数列$\{z_n\}$の一般項を求めよ．

【９】　$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームが対戦し，先に$3$勝したチームを優勝とする．また，過去の対戦結果から各試合において$\mathrm{A}$チームが$\mathrm{B}$チームに勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$であることが分かっている．なお，それぞれの対戦は独立であるものとし，勝敗の結果は次の試合に関係しない．以上をふまえて，次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$チームが$3$試合目，$4$試合目，$5$試合目のそれぞれで優勝を決める確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$チーム，$\mathrm{B}$チームのいずれかが優勝を決めるまでの試合数を確率変数$X$とする．そのときの確率分布表を作成し，優勝が決まるまでの試合数の期待値を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．