2023　名古屋市立大　前期

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=3^n-1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$と表されるとする．$b_n=3n\cdot a_n$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$とする．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$b_{15}$は何桁の数かを求めよ．

(3)　$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を求めよ．

【２】　$n$人でじゃんけんをする．$1$回目のじゃんけんで勝者が$1$人に決まらなかった場合には，敗者を除き$2$回目のじゃんけんを行う．あいこも$1$回と数える．次の問いに答えよ．

(1)　$1$回目のじゃんけんで勝者が$1$人に決まる確率$p_n$を求めよ．

(2)　$1$回目のじゃんけんであいこになる確率$q_n$を求めよ．

(3)　$5$人でじゃんけんを行い，$2$回目に勝者が$1$人に決まる確率を求めよ．

【３】　座標空間に同一平面上にある$4$点$\mathrm{A}$$(-1,1,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,3,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(5,1,-3)$をとる．また，点$\mathrm{P}$$(5,3,5)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を含む平面$\alpha$に対してベクトル$\overrightarrow{n}=(a,1,c)$が垂直であるとする．このとき，$a\text{，}$$c$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．このとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

　さらに$2$点$\mathrm{Q}$$(2t+5,t+3,2t-4)$$\text{（}t>0\text{），}$$\mathrm{R}$$(2u+3,u-1,2u)$$\text{（}u>0\text{）}$を考える．次の問いに答えよ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{n}$と$\overrightarrow{\mathrm{HQ}}$の内積を$t$を用いて表せ．

(4)　四面体$\mathrm{QABC}$において三角形$\mathrm{ABC}$を底面としたときの高さを$t$を用いて表せ．

(5)　四面体$\mathrm{QABC}$と四面体$\mathrm{RADC}$の体積比を$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)=|2\sqrt{3}{\sin }^{2}x-\sqrt{3}+2\sin x\cos x-\sqrt{2}|$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)\mathit{dx}$ を求めよ．

【３】　座標空間内の点$\mathrm{A}$$(-1,1,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,3,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(5,1,-3)\text{，}$$\mathrm{P}$$(5,3,5)$について次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を含む平面$\alpha$に対してベクトル$\overrightarrow{n}=(a,1,c)$が垂直であるとする．このとき，$a\text{，}$$c$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．このとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　さらに$2$点$\mathrm{Q}$$(2t+5,t+3,2t-4)$$\text{（}t>0\text{），}$$\mathrm{R}$$(2u+3,u-1,2u)$$\text{（}u>0\text{）}$を考える．四面体$\mathrm{QABC}$と四面体$\mathrm{RADC}$の体積比を$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

【４】　図のように，原点$\mathrm{O}$を中心とし，$y\geqq 0$に存在する半径$1$の半円に巻きつけられた糸をひっぱりながら動かす．糸の一端は点$\mathrm{A}$$(-1,0)$に固定され，動かす方の端である点$\mathrm{P}$は，はじめ点$\mathrm{B}$$(\sqrt{2},0)$にある．点$\mathrm{P}$が反時計回りに動くとき，次に$x$軸に重なるまでの点$\mathrm{P}$の描く曲線$C$の長さを求めよ．

【３】　座標平面上に曲線$C\text{：}y=2x^2-3x+2+(x-2)|x-1|$と直線$l\text{：}y=ax-a+1$がある．$C$と$l$で囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$のグラフをかけ．

(2)　$S(a)$を求めよ．

(3)　$S(a)$の最小値を求めよ．

(編注）2006年　横浜国立大学　前期経済学部 【３】を改変して活用