2023　名古屋市立大　後期

【１】　関数$f(x)=\log (1+x)$$\text{（}x>-1\text{）}$とする．$a$を正の実数とし，曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$$(t,f(t))$$\text{（}0<t<a\text{）}$における$C$の接線を$l$とする．また直線$l$と$x$軸，$y$軸および$x=a$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする．次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　$S(t)$$\text{（}0<t<a\text{）}$の最小値を求めよ．

(3)　極限値$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$を求めよ．

(4)　(2)で求めた最小値を$m(a)$とする．極限値$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{m(a)}{a^2}}$を求めよ．

(編注）2012年　金沢大学　後期理工学域電子情報学類【２】を改変して活用

【２】　スペード，クローバー，ダイヤ，ハート，ジョーカーの$5$種類の模様が描かれたカードがある．スペード，クローバー，ダイヤ，ハートの模様が描かれたカードは$13$枚ずつあり，それぞれ$1$から$13$のうちのすべて異なる$1$つの数字が書かれている．ジョーカーは$1$枚だけである．これら計$53$枚のカードが入っている中が見えない袋から，ジョーカーが出るまでカードを戻すことなく連続して取り出す．次の問いに答えよ．

(1)　$5$枚目にジョーカーが取り出される確率を求めよ．

(2)　$5$枚目にジョーカーが取り出されたという条件のもと，$1$枚目から$4$枚目に取り出されたカードの種類がすべて異なる条件付き確率を求めよ．

(3)　$5$枚目にジョーカーが取り出され，$1$枚目から$4$枚目に取り出されたカードの種類がすべて異なっていたという条件のもと，$1$枚目から$4$枚目に取り出されたカードの数字の和が$17$であるという条件付き確率を求めよ．

【３】　平面において，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，

$2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

が成り立つとする．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$それぞれ求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は，初項からの並びが，

$1,1,1,3,3,1,1,5,3,3,5,$$1,1,7,3,5,$$5,3,7,1,1,$$9,3,7,\cdots$

となっており，$i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$としたとき以下の規則に従っているものとする．

・$a_1=a_2=1$

・$a_{2i}=1$のとき，$a_{2i+1}=1$かつ$a_{2i+2}=a_{2i-1}+2$

・$a_{2i}\ne 1$のとき，$a_{2i+1}=a_{2i-1}+2$かつ$a_{2i+2}=a_{2i}-2$

次の問いに答えよ．

(1)　$a_n=99$となる最小の$n$を求めよ．

(2)　$a_{120}$を求めよ．

(3)　$a_1$から$a_{2023}$までの和を求めよ．

【１】　座標平面上の曲線$y=x^3$$\text{（}0\leqq x\leqq \sqrt{3}\text{）}$を$C\text{，}$線分$y=3x$$\text{（}0\leqq x\leqq \sqrt{3}\text{）}$を$L$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}$と$L$上の点$\mathrm{Q}$があり，線分$\mathrm{PQ}$が$L$と直交する．$\mathrm{PQ}$の長さが最大となるとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$L$とで囲まれる図形を(1)で求めた直線で$2$つの図形に分けたとき，$2$つの図形のうち原点を含む方の図形の面積を$S_1\text{，}$原点を含まない方の図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の比を求めよ．