2023　名古屋市立大　中期

【１】　$3$点$\mathrm{A}$$(0,0,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2\sin \theta \cos \theta ,0,2{\cos }^2\theta )\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,2\sin \theta \cos \theta ,2{\cos }^2\theta )$を座標空間に取り．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\cos 2\theta$を用いて表せ．

(2)　$t={(1-\cos 2\theta )}^2$とおいて，$S$を$t$で表せ．

(3)　$\theta$の値が変化するとき，$S$が最大となる点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標を求め，また$S$の最大値を求めよ．

【２】　異なる$4$つの自然数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$があり．$a+d=b+c$を満たす．ただし，$d\geqq 4\text{，}$$a<b<c<d$である．次の問いに答えよ．

(1)　$a=1$のとき，ある$d$の値に対して$b\text{，}$$c$の取りうる全ての場合の数を$S_d$とする．たとえば，$d=4$の場合は，$b=2\text{，}$$c=3$の$1$通りだけとなるため，$S_4=1$である．

　$d=2m$と$d=2m+1$の場合にわけて，$S_d$を$m$を用いて表せ．ただし$m$は$2$以上の自然数とする．

(2)　ある$d$の値に対して，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の取りうる全ての場合の数を$T_d$とする．たとえば，$d=4$の場合は，$a=1\text{，}$$b=2\text{，}$$c=3$の$1$通りだけとなるため，$T_4=1$である．

　$d=2n$と$d=2n+1$の場合にわけて，$T_{d+1}$を$T_d$と$n$を用いて表せ．ただし$n$は$2$以上の自然数とする．

【３】　座標平面における$2$つの曲線$C_1\text{：}y=2\log x$および$C_2\text{：}y={(\log x)}^2-8$$\text{（}x>0\text{）}$に関して，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする$x$の対数とする．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれる領域の面積$D$を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$および$2$つの直線$x=1\text{，}$$x=e^2$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．