2023　奈良県立医科大学　前期医学科

【１】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数定数とし，$a>0$とする．

(1)　関数$f(x)=ax+b-\log x$は，$x=\text{ア}$のときに最小値$\text{イ}$をとる．

(2)　曲線$C_1\text{：}y=\log x+c$を考え，$C_1$上の点$\mathrm{P}$での接線を$y=mx+n$と表す．$\mathrm{P}$を$C_1$上で動かすと，$xy$平面上の点$(m,n)$は曲線$C_2\text{：}y=\text{ウ}$上を$x>\text{エ}$の範囲で動く．また，$C_1$と$C_2$は点$(\text{オ},\text{カ})$でのみ交わる．

【２】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．ただし，解答に絶対値を用いてはならない．

　$m$を正整数とし，$n=2m$とする．$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots \text{，}$$a_n$を$a_1<a_2<\cdots <a_n$を満たす実数とし，$f(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}|x-a_k|$を考える．

(1)　$m=1$のとき$f(x)$の最小値は$\text{ア}$である．

(2)　$l$を$0$以上の整数とし，$x$は$a_l<x<a_{l+1}$を満たす範囲にあるとする．ただし，$l=0$のときは$x<a_1\text{，}$$l=n$のときは$x>a_n$とする．このとき，$f(x)$は

$f(x)=(\text{イ})x+{\displaystyle \sum _{k=l+1}^n}{a}_k-{\displaystyle \sum _{k=1}^l}{a}_k$

である．

(3)　$x$が実数全体を動くとき，$f(x)$の最小値は$\text{ウ}$である．

【３】　以下の問に答えよ．ただし，答のみ記入すればよい．

　複素数のうち実部も虚部も整数であるものをガウス整数と呼ぶ．特に実部も虚部も正整数のとき，そのガウス整数は“正である"ということにする．虚数単位を$i$とする．

(1)　$0$以上の整数$n$のうち，ガウス整数の絶対値の$2$乗となるものを，小さい方から順に$10$個求めよ．

　整数$5$は$5=(2+i)(2-i)$と表せる．同じように整数を$2$つのガウス整数の積で表す方法を考える．

(2)　ガウス整数$z\text{，}$$w$が$6=zw$かつ$\left|z\right|\leqq \left|w\right|$を満たすとき，絶対値の組$(|z|,|w|)$として考えられるものを$3$つ求めよ．

(3)　整数$6$を$2$つのガウス整数の積で表す方法を考える．$2$つのガウス整数のうち少なくとも一方が正であるような表し方を$2$通り求めよ．ただし，積の順序を入れ替えただけの表し方は同一のものと考える．

【４】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　$1$から$6$の目があるサイコロを使ったゲームを行う．プレイヤーは初め数直線上の$x=4$の位置にいて，以下のルールに従って移動する．

プレイヤーが$x=0$か$x=6$に到達した時点でゲームを終了する．

(1)　サイコロを$2$回振ってゲームが終了する確率は$\text{ア}\text{，}$

(2)　サイコロを$2n$回振ってゲームが終了する確率$P_n$を求める．$2n$回でゲームが終了するためには，$2(n-1)$回後の位置が$x=2$か$x=4$でなければならない．$2(n-1)$回後の位置が$x=2$である確率を$a_{n-1}\text{，}$$x=4$である確率を$b_{n-1}$とすると

$P_n=\text{イ}(a_{n-1}+b_{n-1})$

が成り立つ．また，$x=2$または$x=4$の状態からサイコロを$2$回振って位置が$x=2$または$x=4$になる確率を考えると，$a_k$と$b_k$は漸化式

$a_{k+1}=\text{ウ}{a}_k+\text{エ}{b}_k\text{，}$$b_{k+1}=\text{エ}{a}_k+\text{ウ}{b}_k$

を満たすから

$a_{k+1}+b_{k+1}=\text{オ}(a_k+b_k)$

が成り立つ．したがって$P_n=\text{カ}\text{．}$

【５】　$xyz$空間内の点のうち，$x$座標，$y$座標，$z$座標の値がすべて整数である点を格子点という．原点を$\mathrm{O}$とし，$3$つの格子点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に対して次のような命題(K)を考える．

(K)　空間内のどの格子点$\mathrm{P}$$(x,y,z)$を選んでも，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

を満たすような整数$s\text{，}$$t\text{，}$$u$が存在する．

(1)　次の(ア)と(イ)はどちらも正しい．いずれか一方を選んで，それを証明せよ．ただし，解答の初めにどちらを証明するか明記すること．

(ア)　$3$点$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,1)$に対し，命題(K)は真である．

(イ)　$3$点$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,1)$に対し，命題(K)は偽である．

(2)　$3$つの格子点$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,c)$に対し，命題(K)が真となるような$(b,c)$の組を$4$つ求めよ．