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2023-11621-0201
2023 奈良県立医科大学 後期医学部
医学科
易□ 並□ 難□
【1】 x⁣y 平面上の楕円
C: x2a2 + y2b2 =1 ( a, b>0 )
について以下の問に答えよ.
(1) m , t を実数とする.直線 y= m⁢x+t と楕円 C とが相異なる 2 点を共有するために m , t の満たすべき必要十分条件を求めよ.
(2) (1)において m を固定し,傾き m の直線 l t:y= m⁡x+t が C と相異なる 2 点を共有するように t を動かす.直線 l t と楕円 C との 2 つの共有点のうち, x 座標の小さい方を P ⁡(t ), x 座標の大きい方を Q⁡ (t ) とする. t を動かしたとき,線分 P ⁡(t )Q ⁡(t ) の中点はある直線上にのることを証明せよ.
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【2】 整数 k ( ≧2 ) を一つ固定する.正整数 n に対して, k 次の方程式
(E ) n:x k+n⁢ xk-1 -(n +2) =0
を与える.
(1) すべての正整数 n に対して,方程式 ( E)n は正の解をただ一つしか持たないことを証明せよ.
(2) 各正整数 n に対して,(1)における正の解を a n とおく. n→∞ のとき数列 {an }n= 1,2,⋯ は収束することを示し,その極限値を求めよ.
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【3】 実数 a に対して以下の条件(G)を考える.
・条件(G):不等式 ⌈ 3⁢x⁢y ⁢z⌉ <x3+ y3+ z3+a が任意の正の実数 x , y , z に対して成り立つ.(ただし実数 r に対して ⌈ r⌉ は r 以上の整数の中で最小のものを表す.)
(1) a≧1 ならば, a は条件(G)を満たすことを証明せよ.
(2) 条件(G)を満たす実数 a の中で, a=1 は最小であることを証明せよ.
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【4】 実数 r に対して [ r] は r 以下の整数の中で最大のものを表す.正整数 m に対して n 1=[ m] とおく.次に n2 =[ m- n12 ] とおく.同様に整数 n i ( i>1 ) を帰納的に ni =[m -n12 -⋯- ni-1 2 ] と定める.すると正整数 m は l 個の平方数 n i2 ( i=1 ,⋯ , l ) の和として
m=n 12+ n22 +⋯+ nl2 , ni> 0 ( i=1 ,⋯ ,l )
のように一意に表せる.このとき l ( >0 ) は m により定まる関数であり, l=l⁡ (m ) とおく.例えば 5 =22 +12 なので l⁡ (5) =2 である.
(1) m ( >1 ) が平方数 m= k2 ( k は正整数)ならば, l⁡( m)≠ l⁡( m-1 ) となることを証明せよ.
(2) 2 以上の任意の正整数 m に対して, l⁡( m)≠ l⁡(m -1) となることを証明せよ.
(3) l⁡( a)=5 となる最小の正整数 a , l⁡( b)=6 となる最小の正整数 b , および l⁡ (c) =7 となる最小の正整数 c を求めよ.