2023　岡山県立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

〔1〕　$i$を虚数単位とし，$x\text{，}$$y$を正の整数とする．複素数$z=x+yi$が$z^2=40+42i$を満たすとき，$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

〔2〕　$x>0$のとき$\cos x>1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$が成り立つことを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

〔3〕　不定積分${\displaystyle \int }(8{\cos }^{4}x-8{\cos }^{2}x+1)\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{O}$があり，$2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}\text{，}$$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$とする．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_2$とおく．${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値を求めよ．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{8x}{x^2+1}}$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，曲線$y=f(x)$の変曲点のうち，$x$座標が正であるものを$\mathrm{A}$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸を調べて，グラフを図示せよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_1$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$\mathrm{OA}$で囲まれた図形のうち，$x\geqq 0$の部分の面積$S_2$を求めよ．また，$S_2$と(2)の$S_1$の大小関係を示せ．必要ならば，自然対数の底$e$が$\mathrm{2.718}\cdots$であることを用いてよい．

【４】　箱の中に，$1$から$9$までの番号が$1$つずつ書かれた玉が$9$個入っている．この中から$1$個ずつ順に$3$個の玉を取り出す．ただし，取り出した玉は箱に戻さないとする．玉に書かれた番号を取り出した順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

(1)　$a<b<c$となる確率を求めよ．

(2)　$(a-1)(b-1)(c-1)=0$となる確率を求めよ．

(3)　$|(a-b)(b-c)(c-a)|=1$となる確率を求めよ．

(4)　$|(a-b)(b-c)(c-a)|=2$となる確率を求めよ．