2023　岡山県立大学　中期MathJax

【１】次の問いに答えよ．

〔1〕　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2$と$a_3$の値を求めよ．

(2)　$b_n=2^n{a}_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】次の問いに答えよ．

〔2〕　自然数$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$の中の異なる$2$個の数の積を考える．その積の総和を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{2}$とする．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{C}$があり，$\mathrm{\angle AOC}=30\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle COB}=45\mathrm{°}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，

$\overrightarrow{c}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$

をみたす実数$t$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$及び$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を$t$で表せ．

(3)　$t$の値を求めよ．

(4)　辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{D}$をとり，直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{OC}$が直交するようにする．線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．

【３】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(2\cos \theta ,2\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{B}$$(\cos \theta ,-\sin \theta \text{)}\text{，}$$\mathrm{C}$$({\displaystyle \frac{8}{3}},0)$がある．ただし，$0<\theta <\pi$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$と$x$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$で表せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S(\theta )$を求めよ．

(3)　面積$S(\theta )$が最大になるときの点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

【４】次の問いに答えよ．

〔1〕　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}{\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}}\mathit{dx}$を求めよ．

【４】次の問いに答えよ．

〔2〕　定積分${\displaystyle {\int }_{-3}^5}{\displaystyle \frac{3x}{\sqrt{6-x}}}\mathit{dx}$を求めよ．

【４】次の問いに答えよ．

〔3〕　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^2+2x-2}{2x^3+x^2-5x+2}}\mathit{dx}$を求めよ．