2023　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$a$を定数とする．関数$y=a{x}^2+4x+a+3$において，$y$の値が常に負になるような$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$1$枚の硬貨を続けて$5$回投げるとき，$3$回目以降に初めて表が出る確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$0\leqq x<2\pi$のとき，方程式$\cos 2x+3\cos x+2=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$a\text{，}$$b$を実数の定数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+1=0$が$x=1+\sqrt{3}i$を解にもつとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　次の方程式を解け．

$2+{\log }_{3}x={\log }_3(x-1)+{\log }_3(x+6)$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-2\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=-3\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=-4\text{，}$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$を満たしている．このとき，大きさ$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|$のうちで最大であるものを答えよ．また，その値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　次の極限を求めよ．

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3\cdot 2^x+4\cdot 2^{-x}}{5\cdot 2^x+6\cdot 2^{-x}}}$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の第$2$次導関数$y^{″}$を求めよ．

【２】　数列を以下のように，第$n$群に$n$個の数が入るように分ける．また，各群には$1$から順に奇数を並べるものとする．

$1|1,3|1,3,5|1,3,5,7|1,\cdots$

　このとき，次の各問に答えよ．

(1)　第$n$群に含まれる数の総和を$n$を用いて表せ．

(2)　第$223$項は，第何群の何番目か．

(3)　第$1$群の$1$番目から第$17$群の最後の数までの総和を求めよ．

(4)　第$1$群の$1$番目から第$24$群の$12$番目の数までの総和を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=x^2{e}^{2x}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}$

と定める．このとき，次の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f^{″}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{2x}\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　(2)で求めた値のうち，最小のものを$a\text{，}$最大のものを$b$とする．このとき，定積分${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$5$個の数字$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$をすべて並べてできる$5$桁の整数を小さい方から順に並べる．このとき，$100$番目の整数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　${(2x^2-3y)}^5$の展開式における$x^4{y}^3$の係数を求めよ．

【３】　曲線$y=x^3-3x$を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^3-3t)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$$(1,-3)$から曲線$C$に引いた接線の方程式をすべて求めよ．

(3)　(2)の接線のうち，傾きが最も大きいものを$l$とする．曲線$C$と直線$l$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．